Etude des Phénomènes Critiques par les Méthodes de Monte Carlo : Cas du modèle d'Ising à 2 D pour la transition de phase Ferro<->Para

RÉPUBLIQUE DU CAMEROUN REPUBLIC OF CAMEROON

UNIVERSITÉ DE DOUALA THE UNIVERSITY OF DOUALA

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Matricule : 05A2045

FACULTÉ DES SCIENCES FACULTY OF SCIENCE

DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE DEPARTMENT OF PHYSICS

Etude des Phénomènes Critiques

par les Méthodes de Monte Carlo :

Cas du modèle d'Ising à 2D pour

la transition de phase Ferro ? Para

Mémoire présenté en vue de l'obtention du

DIPLÔME DE MAÎTRISE DE PHYSIQUE

OPTION : MATIÈRE CONDENSÉE

par

TCHUENTE Rostand Choisy

Licencié ès Sciences Physiques

Sous

et

LA DIRECTION DE : LA SUPERVISION DE :

Dr FOUEJIO David Dr NJEUGNA Ebenezer

CHARGÉ DE COURS MAÎTRE DE CONFÉRENCES

Année académique

2005 ~ 2006

DEDICACES

A

toi papa ; Feu Roger Dupont TCHUENTE

vous ; mes futurs ...

qui représentez mon passé qui a attendu en vain,

mon espoir qui suivra je l'espère ces pas

REMERCIEMENTS

Alors qu'il m'est offert la possibilité de manifester toute ma gratitude envers tous, qui ont participé à la finalisation de ce travail, conscient de ne pouvoir être exhaustif, je prierai les uns et les autres (ici cités ou non) de reconnaître en ces petites paroles, la grandeur de la reconnaissance que je leurs accorde.

Au TOUT PUISSANT Seigneur de l'univers, qui sous ses ailles m'a protégé et guidé à travers tous les pièges de cette jungle, que ce travail puisse positivement inspirer ton royaume.

Au staff administratif de l'Université de Douala, du Département de Physique par le Dr OUSMANOU Motapon pour la constance des efforts menés pour la bonne marche de notre formation.

Au Dr David FOUEJIO qui a proposé et accepté de diriger ce travail. Malgré vos multiples charges, vous avez présenté une disponibilité, un soutient multiforme, une rigueur constante dans le travail, un esprit de collaboration qui ont fait tâche d'huile. Recevez mes sincères remerciements.

A tous le corps enseignant du Département de Physique de notre Faculté, mes enseignants et aînés ; les Docteurs J. P. NGUENANG, E. WEMBE, C. NOUPA, S.G. NANA ENGO, G.E. NTAMACK, et les Professeurs Oumarou BOUBA, KWATO NDJOCK, Norbert NOUTCHEGUEME, Pr. Josué KOM MOGTO. C'est par vous que j'ai d'avantage pris goût à la chose scientifique. Les modèles se trouvent t'ils à l'infini ?

A ma famille ;

ma très chère maman Mme TCHUENTE Marthe Viviane pour qui je n'aurai jamais assez de mots ...

mes grands frères Serge Jr., Christian Hervé, Stephan Fleury, Henry Patrick TCHUENTE, André KAYO

ma petite soeur Sandrine Gaëlle TCHUENTE.

Votre soutien n'aura jamais d'égal et aucune tribune ne sera suffisamment haute, aucun mot plus complet, pour vous dire MERCI au regard de votre désir de me voir réussir.

A mes oncles et tantes, mon tuteur ;

M. KAYO Elie, Mme KOM MOGTO Elisabeth, M. & Mme GOUAMPE Philippe, TCHATCHOUANG C, WONGTCHOUANG E, KOUONANG J.P. pour votre soutien des plus remarquables.

M. & Mme KOM Samuel si seulement je savais m'exprimer, j'aurai su vous dire MERCI...!

A mes cousins et cousines Perrault, Stéphane, Dieudonné, Moselly, Favière, Marcelline, ... , Guy Alain KAYO et Pélagie M. & Irène N. TCHUENTE, ...

A tous mes camarades et amis de promotion :

des baccalauréats E et F1, Hermine Jésus, Lazare, Ghislain Martial, Honoré de Paul, Alban, J. Médard

de maîtrise de Physique, en particulier les Maîtres Armand HYEUDIP, Nasser MBA T., Thierry NJASSAP, Roger T. MABOU, C. FANKAM, ... nos échanges ont déterminés les tournures de ce travail.

de Douala ; Hugues Joël, Christian, Justine Valérie, Flore Josiane, Odilia, ...

de l'Université de Ngaoundéré ; Valery Hervé, Ghislain Bérenger, Yves Mathurin, Jean Pierre, Reine Grâce, Christelle, Linda, Edwige Patricia, Valérie, Emilie Josyane. Vous avez été pour moi une 3^ième famille.

A tous qui ont été plus près de moi, rêvés et crus en ce que je fais, encouragé et supporté ;

Mon AMIE, ... Tave quaviero

A tous, nous avons combattus le bon combat, fraction de ce qui reste à faire. Le meilleur est à venir ...

TABLE DES MATIERES

SOMMAIRE

DEDICACE ....................................................................................................... i

REMERCIEMENTS ........................................................................................... ii

TABLES DES MATIERES

Sommaire iii

Tables des Figures & Tableaux v

Figures v

Tableaux vi

QUINTESSENCE

RESUME vii

ABSTRACT vii

INTRODUCTION GENERALE ............................................................................. 1

1^ERE PARTIE: ETUDE THEORIQUE

Chapitre 1

Bases des simulations par les méthodes de Monte Carlo pour les transitions de phase magnétiques 3

1.A. Introduction. 3

1.A.2. L'état d'équilibre 5

1.B. Les méthodes probabilistes de Monte Carlo 6

1.B.1. Expressions théoriques des grandeurs physiques 6

1.B.2. Fluctuation, Corrélations et Réponse 7

1.B.3. Cas du modèle d'ISING. 10

1.B.4. Méthodes numériques 11

1.C. Principes de la simulation de Monte Carlo à l'équilibre thermique 13

1.C.2. Echantillonnage important 14

1.C.2.1. Processus de Markov 14

1.C.2.2. Ergodicité 15

1.C.2.3. Balance spécifique 15

1.C.3. Rapport d'acceptation 17

Chapitre: 2

Etude des phénomènes critiques À l'aide du modèle d'ISING à 2 D. 19

2.1. Les phénomènes critiques 19

2.1.1. Les transitions de phase 19

2.1.2. L'exposant critique (sa mesure) et les classes d'universalités 21

2.1.2.1. Notion d'universalité 22

2.1.2.2. Fluctuations critiques et ralentissement critique 23

2.1.2.3. Fonction d'auto corrélation de l'aimantation 24

2.1.2.4. Temps de corrélation et exposant dynamique. 25

2.1.2.5. Mesure de l'exposant critique 25

2.2. Applications : 27

2.2.1. L'algorithme de construction de la chaîne du processus de Markov. 27

2.2.2. Algorithme détaillé de Métropolis. 27

2.2.2.1. Insuffisances de l'algorithme de Métropolis. Le pas vers Wolff 28

2.2.3. L'algorithme de Wolff 29

2.2.3.1. Rapport d'acceptation pour les algorithmes de cluster 29

2.2.3.2. Algorithme détaillé de Wolff et avantages 31

2^NDE PARTIE: ETUDE PRATIQUE

Chapitre 3

Les résultats des simulations 32

3.1. Introduction 32

3.2. Détermination de l'équilibre thermique. 33

3.3. Détermination du temps de corrélation. 38

3.4. Etude de la transition de phase. 39

3.4.1. Transition de phase Ferro?Para. 41

3.5. Résultats comparés des algorithmes de Métropolis et de Wolff 45

3.6. Présentation du programme de simulation : ISampling 48

CONCLUSION GENERALE ............................................................................... 49

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES ................................................................... I

ANNEXES

ANNEXE 1 : II

Organigramme du processus de Markov. II

ANNEXE 2 : III

Organigramme de l'algorithme de Métropolis. III

ANNEXE 3 : IV

Programme en C++ de l'algorithme de Métropolis IV

ANNEXE 4 : V

Organigramme de l'algorithme de Wolff V

ANNEXE 5 : VI

Programme en C++ de l'algorithme de Wolff VI

ANNEXE 6 : VII

Algorithme de génération des nombres aléatoires par congruence lineaire avec `shuffling'. VII

ANNEXE 7 : IX

Classification des transitions de phase IX

!TABLES DES FIGURES & TABLEAUX

Figures

Figure 2.1 : schématisation des regroupements de spin en fonction de la température 21

Figure 3.1 : Aimantation du système de 100 x 100 spins du modèle d'Ising à 2 D en fonction du temps (en MCS/Site) pour trois types de graine simulé avec l'algorithme de Métropolis. Les nombres aléatoires sont générés par congruence linéaire simple et l'équilibre thermique est atteint au voisinage de t = 600 MCS/Site à T = 2.4K 34

Figure 3.2 : Aimantation du système de 100 x 100 spins du modèle d'Ising à 2 D en fonction du temps (en MCS/Site simulé avec l'algorithme de Métropolis. Les nombres aléatoires sont générés par congruence linéaire simple ou suivie d'un shuffling et l'équilibre thermique est atteint au voisinage de t = 800 MCS/Site à T = 2K 35

Figure 3.3 : Douze états de 100 x 100 spins du modèle d'Ising à 2 D amenés à l'équilibre thermique à T=2.4K au bout de t = 400 MCS/Site avec l'algorithme de Métropolis. Les spins Up (+1) sont représentés en noir et les spins Down (-1) sont en blanc. 36

Figure 3.4 : Aimantation du système de 100 x 100 spins du modèle d'Ising à 2 D en fonction du temps (en MCS/Site) simulé avec l'algorithme de Métropolis. L'équilibre thermique est atteint au bout de t = 200 MCS/Sites à T = 2.2K. La simulation a débutée avec des spins complètement aléatoires, puis « refroidie' jusqu'à l'équilibre à T = 2.2K. 37

Figure 3.5 : Fonction d'auto corrélation de l'aimantation pour le modèle d'Ising à 2D sur un système de 100x100 spins à la température T=2.2K par Métropolis. Le temps de corrélation est de ô = 725 MCS/Site 38

Figure 3.6 : Temps de corrélation pour 100x100 spins du modèle d'Ising à 2D en fonction de la température simulé avec l'algorithme de Métropolis. 39

Figure 3.7 : Aimantation (carrés) et susceptibilité magnétique (cercles) du système 5x5 spins du modèle d'Ising à 2D en fonction de la température simulé avec l'algorithme de Métropolis. Les points (carrés et cercles) sont les résultats de la simulation et les traits, le calcul exacte à l'aide de la fonction de partition. 40

Figure 3.8 : Aimantation moyenne par spin du système 100x100 spins du modèle d'Ising à 2D en fonction de la température, simulé avec l'algorithme de Métropolis. Le tracé représente la Transition Ferro ? Para. Le tracé représente la Transition Para? Ferro 42

Figure 3.9 : Chaleur spécifique moyenne à volume constant par spin du système 100x100 spins du modèle d'Ising à 2D en fonction de la température, simulé avec l'algorithme de Métropolis. Le tracé représente la Transition Ferro ? Para. Le tracé représente la Transition Para? Ferro 43

Figure 3.10 : Susceptibilité magnétique moyenne par spin du système 100x100 spins du modèle d'Ising à 2D en fonction de la température, simulé avec l'algorithme de Métropolis. Le tracé représente la Transition Ferro ? Para. Le tracé représente la Transition Para? Ferro 44

Figure 3.11 : Aimantation moyenne par spin du système de 100x100 spins du modèle d'Ising à 2D en fonction de la température. Carrés : algorithme de Métropolis ; Cercles : algorithme de Wolff. 46

Figure 3.12 : : Chaleur spécifique moyenne par spin du système de 100x100 spins du modèle d'Ising à 2D en fonction de la température. Carrés : algorithme de Métropolis ; Cercles : algorithme de Wolff. 46

Figure 3.12 : : Susceptibilité magnétique moyenne par spin du système de 100x100 spins du modèle d'Ising à 2D en fonction de la température. Carrés : algorithme de Métropolis ; Cercles : algorithme de Wolff. 47

Figure 3.14 : Fenêtres de paramétrage de simulation (gauche) et d'options graphiques (droite) 49

Figure 3.15 : Fenêtre du choix de visualisation d'une grandeur 49

Figure 3.16 : Fenêtre principale du programme ISampling 49

Figure A1 : Organigramme du processus de Markov II

Figure A2 : Organigramme du processus de Métropolis III

Figure A4 : Organigramme du processus de Wolff V

Tableaux

Tableau 2.1 : Expressions de quelques grandeurs physiques en fonction de leurs exposants critiques 22

Tableau 2.2 : Classe d'universalité et modèles associés 23

Tableau 2.3 : Valeurs des exposants critiques pour d = 2 26

Tableau A7 : Classification des transitions III

QUINTESCENCE.

RESUME

L'objectif initial de notre travail était la comparaison de deux algorithmes de simulation des phénomènes critiques par les méthodes de Monte Carlo, - l'algorithme de Métropolis et l'algorithme de Wolff -. Nous devions par ailleurs étudier les phénomènes critiques qui s'établissent à la transition de phase. A cet effet, nous avons déterminé, les courbes d'évolution des paramètres du système (énergie, aimantation, susceptibilité, chaleur spécifique) et celles des propriétés des différents algorithmes étudiés (temps et longueur de corrélation) toutes en fonction de la température et / ou de la taille du système. Pour ce faire, nous avons étudié et simulé un modèle d'Ising à 2 dimensions. Nous avons indifféremment travaillé sur les transitions Ferro vers Para ou Para vers Ferro (Ferro ? Para).

ABSTRACT

The aims of our work was the comparison of two algorithms of critical phenomena simulation by methods of Monte Carlo, - the algorithm of Métropolis and the algorithm of Wolff -. We had to study the critical phenomena that settle to the phase transition of otherwise. Therefore, we have determine curves of evolution of parameters of the system (energy, magnetization, susceptibility, specific heat) and those of different studied algorithm properties (correlation time and length) all according to the temperature and / or of the size of the system. Thus we have studied and simulated the two dimensional Ising model. We have worked indifferently on transitions Ferro towards Para or Para towards Ferro (Ferro ? Para).

... de la même façon, on peut apprécier les progrès scientifiques et y prendre plaisir, même si l'on n'a personnellement aucune disposition pour la créativité scientifique.

Mais demandera - t - on, à quoi servirait-il ?

La 1^ère réponse est que personne ne peut se sentir chez soit dans le monde moderne, juger la nature de ses problèmes et les solutions possibles, à moins d'avoir une idée intelligente de ce que nous réserve la science. De plus l'initiative au monde magnifique de la science apporte une intense satisfaction esthétique, inspire la jeunesse, comble le désir de savoir et permet d'apprécier plus profondément les merveilles déjà réalisées par l'esprit humain, et celles dont il est capable.

C'est pour permettre une telle initiative que j'ai entrepris d'écrire ...

Isaac ASIMOV, L'univers de la science, InterEdition, 1986, page 15

INTRODUCTION GENERALE

A la base de toute observation des objets de la nature, l'on aperçoit l'aspect du système (ou objet) observé. Sous l'influence de l'environnement dans lequel il beigne, cet aspect peut prendre diverses configurations ou états ; on parle aussi de phase. Ce à quoi nous nous intéressons dans notre présent travail, c'est la description du système à l'instant précis où il change de phase. Il s'agit d'un instant critique où se produisent des phénomènes dits critiques, c'est à dire de transition de phase.

Notre travail trouve ses applications sur les ordinateurs qui permettent de simuler les systèmes physiques pour la résolution des problèmes en physique statistique. Nous utiliserons à cet effet comme méthodes numériques, celles de Monte Carlo qui s'appuient sur un jeu d'échantillon d'une représentation d'un système physique pris dans un état donné. Elles visent ainsi à la détermination de manière efficace et rapide des grandeurs physiques liées au système considéré, par des procédés probabilistes.

En considérant la configuration granulaire (spin, atome, molécule, ...) de la matière (système physique) et sachant que ces éléments composites interagissent mutuellement, les phénomènes critiques s'étudient avec les théories de la physique statistique et plus particulièrement de la mécanique statistique.

Ainsi donc, cumulés aux résultats théoriques de la mécanique statistique, les simulations par les méthodes numériques nous apportent des outils complémentaires pour mieux comprendre les systèmes. Elles sont essentielles pour des systèmes complexes, à l'approche de l'instant critique où s'établi la transition. C'est ce qui fit développer ces méthodes et plus particulièrement celle de Monte Carlo, très utilisée et adaptée à cet effet. La technique de Monte Carlo à été assez développée à la suite de plusieurs travaux, introduisant ainsi divers algorithmes de simulation, tous intéressants et présentant des spécificités particulières liées au système qu'ils étudient. La 1^ère simulation de Monte Carlo remonte en 1953 suite aux travaux de Métropolis & al. [1]. Bien d'autres suivirent, apportant successivement des corrections remarquables, c'est le cas de [2] l'algorithme de Wolff (proposé par Ulli Wolff en 1989) à l'encontre du précédent qui traite sur les spins, celui-ci manipule des blocs de spins ; l'algorithme de Swendsen - Wang (proposé par ces 2 chercheurs en 1987 et calqué sur le modèle de Wolff) ; l'algorithme de Niedermayer (adapté à toutes sortes de modèles, proposé individuellement par Ferenc Niedermayer en 1988), et bien d'autres ...

Le but principal de notre travail est celui de présenter l'algorithme de Métropolis afin de dégager ses défaillances et les corrections apportées par Wolff. Pour y parvenir, nous introduirons :

Dans un premier temps, une partie dite d' « étude théorique », tout d'abord par une présentation à travers la mécanique statistique, des expressions théoriques des grandeurs physiques qui nous intéressent ; puis nous aborderons les méthodes probabilistes de Monte Carlo où il s'agira pour nous de présenter les différents éléments qui permettent d'établir des résultats numériques proches de ceux déterminés par les probabilités de Boltzmann. Ce qui nous permettra d'aborder en fin, l'étude des phénomènes critiques appliqués au modèle d'Ising à deux dimensions pour la transition de phase Ferro ? Para, où nous comparerons l'algorithme de Métropolis à celui de Wolff à travers leurs différentes propriétés.

Dans un second temps, une partie dite d' « étude pratique » nous permettra de visualiser ces grandeurs par les simulations faites sur différents systèmes, afin de vérifier les conclusions apportées par la partie précédente.