Etude des Phénomènes Critiques par les Méthodes de Monte Carlo : Cas du modèle d'Ising à 2 D pour la transition de phase Ferro<->Para

2.1.2.4. Temps de corrélation et exposant dynamique.

Comme introduit ci-dessus, le temps de corrélation est un paramètre important pour les simulations autant que pratiquement il nous guide sur la durée d'une simulation. Toutefois, à la transition, ce dernier croît dangereusement. Pour décrire la divergence du temps de corrélation ô, nous définissons plutôt un autre exposant noté z, qui donne une légère différence

(2.8)

où ô est mesurée dans les différentes étapes de chaque site de la matrice de Monte Carlo.

On a

(2.8')

L'exposant z est appelé exposant dynamique. z diffère des autres exposants à cause de í ^18(*).

Le temps de corrélation est le temps élémentaire que prend le système pour se regrouper en domaine, c'est à dire former des clusters. Il peut aussi être considéré comme étant la durée moyenné de vie des cluster. Comme nous le verrons au chapitre suivant, au voisinage de la transition, la méthode de Monte Carlo avec un algorithme de type de Métropolis ne nous offre malheureusement pas la possibilité d'apprécier le système. Les échelles sur lesquelles s'étendent les fluctuations à l'approche de grandissent, impliquant le temps de relaxation correspondant car ils sont liés par la relation (2.9)

En considérant l'équation (2.2) pour un système infini ô diverge comme dit en (2.8), tandis que pour un système fini î étant bornée par la taille du réseau (échantillon), il obéira à la loi

(2.10)

Le temps de simulation devient extrêmement long ! Justifiant le ralentissement critique.

2.1.2.5. Mesure de l'exposant critique

L'exposant dynamique nous donne le moyen de quantifier l'effet de ralentissement critique. La valeur de ce ralentissement qui varie typiquement entre 2 et 5 [5. Remarquons que la largeur du spectre des valeurs de z entraîne celui de ô à , ralentissant ainsi la simulation. D'où inversement, de petites valeurs de z impliquent un algorithme plus rapide à l'approche de , si z = 0, il n'y aura donc pas de ralentissement et l'algorithme pourra tourner même lorsque la température est très proche de .

La mesure de l'exposant critique dynamique z peut donc se déduire de la relation (2.10). Dans le cas du modèle en 2D, [4] Onsager (1944) à obtenu en champ externe nul .

(2.11)

Il a été possible d'améliorer les séquences de la simulation à T=. Par l'algorithme de Métropolis, le modèle d'ISING à 2D donne une droite de pente z = 2,09 #177; 0,06 [2]. La meilleure valeur de l'heure fut déterminée par Nightingale et Blote en 1996 z = 2,1665 #177; 0,002 [2].

Comme dit plus haut z connu, l'on peut directement avoir les autres exposants critiques. Ils ont été plus facilement calculés grâce à la Théorie du Groupe de Renormalisation (TGR)^19(*), récapitulés dans le tableau suivant [5]:

Tableau 2.3 : Valeurs des exposants critiques pour d = 2

Exposant critique Dimension du paramètre d'ordre. á		â	ã		í
0		0,065 #177; 0,015	1,39 #177; 0,04	0,21 #177; 0,050,05	0,76 #177; 0,03
1	0(log)	0,125 0,120 #177; 0,015	1,75 1,73 #177; 0,06	0,25 0,26 #177; 0,05	1 0,99 #177; 0,04
2
3			2,5 #177; 0,1

La mesure de l'exposant critique remonte à très longtemps, autant que beaucoup d'efforts ont été mené à cet effet par de nombreux physiciens tout d'abord pour les transitions de phases. Mais à présent l'on s'intéresse plus à la mesure de l'exposant dynamique z, tout comme celle du ralentissement critique de nos algorithmes.

* ¹⁸ En réalité, l'exposant critique est plutôt zí et non z. C'est pour cela qu'il n'est pas un exposant universel comme í,á, ã. (ne pas le confondre à la fonction de partition !).

* ¹⁹ La TGR reconfigure le système considéré en bloc d'éléments. Il est donc semblable à une vision par domaine de spin (cluster) que par spin. Les algorithmes de domaine sont calqués sur les modèles de la TGR