Etude des Phénomènes Critiques par les Méthodes de Monte Carlo : Cas du modèle d'Ising à 2 D pour la transition de phase Ferro<->Para

2.2. Applications :

2.2.1. L'algorithme de construction de la chaîne du processus de Markov.

Rappelons le ce processus permet de générer n'importe quel état í à partir d'un autre état ì.

Soit un espace à N dimension, f(ì,í) une fonction de transition symétrique^20(*) et ð(x) une densité de probabilité. L'on construit une chaîne de Markov de la manière suivante :

1. On se place au n^ième pas de la chaîne X_n = ì et on génère un état í candidat de X_n+1 à partir de f(ì,í).

2. La probabilité de transition est alors

3. S'il y a transition (c'est à dire, P étant une variable aléatoire uniforme sur [0 ;1]) alors X_n+1 = í sinon X_n+1 = ì et on passe au pas suivant.

NB. L'écriture sous forme d'organigramme de cet algorithme est présentée en annexe 1

2.2.2. Algorithme détaillé de Métropolis.

L'algorithme de Métropolis est une des plus efficace et simple solution pour les problèmes de simulation en transition de phase. Il est d'ailleurs conseillé de commencer tout traitement du genre par ce type d'algorithme avant de mettre en oeuvre des algorithmes plus compliqués car on y obtient une référence utile [9]. En effet, les principes de cette méthode [8], exposés dès 1953 (Métropolis et al., 1953) suivent les considérations décrit par la chaîne de Markov comme détaillés ci-dessus, ce qui renvoie ainsi une série de valeurs interdépendantes de ì dont on peut montrer que la distribution statistiques à l'équilibre à pour densité ð(x), la séquence itérative de la dynamique Métropolis pour un système de N x N spins sera alors:

1. On sélectionne un site, en tirant au hasard un nombre entier i tel que 1 = i = (N x N)

2. On calcule la différence d'énergie entre la nouvelle configuration dans laquelle le spin sélectionné a été retourné et l'ancienne. Pour une interaction à courte portée, cette différence est en quelque sorte locale car ne fait intervenir que le site du spin sélectionné et ses voisins.

3. Si la nouvelle configuration est d'énergie plus basse, la nouvelle configuration est acceptée. Si la nouvelle configuration est d'énergie plus haute, on tire au hasard un nombre P, tel que 0 < P < 1, si P < e[â(Ei-Ej], cette configuration est acceptée, sinon on garde l'ancienne.

NB. L'écriture sous forme d'organigramme de cet algorithme est présentée en annexe 2

La vitesse de convergence de l'algorithme de Métropolis dépend de la fonction de transition f(ì,í). Le processus de Markov étant introduit (pour atteindre l'état d'équilibre), l'on devra donc respecter les conditions d'Ergodicité, de balance spécifique et de normalisation (1.34). En pratique, on choisi : (2.12)

Cependant, l'algorithme de Métropolis présente des insuffisances aux phénomènes critiques.

* ²⁰ La fonction est symétrique, c'est à dire f(ì,í) = f(í,ì)). ì et í étant les points (sites ou états) quelconques de l'espace (matrice)