Etude des Phénomènes Critiques par les Méthodes de Monte Carlo : Cas du modèle d'Ising à 2 D pour la transition de phase Ferro<->Para

2.2.2.1. Insuffisances de l'algorithme de Métropolis. Le pas vers Wolff

Nous avons obtenu dans un paragraphe précédent un exposant dynamique pour des modèles d'ISING à 2 D simulés par l'algorithme de Métropolis, une valeur autour de z = 2,09 #177; 0,06 (pratiquement on prend z = 2,17), puis l'équation (2.10) nous a permis de retrouver autrement la température critique. Ceci nous indique alors que l'algorithme de Métropolis est meilleur pour investiguer l'environnement pour ces modèles à l'approche du point critique. Cependant, il ne restera valable qu'à la limite du type de modèle utilisé.

Le chronomètre guidé par l'horloge du processeur de notre ordinateur indiquera une durée, « CPU time » notée comme étant la durée mise entre un certain nombre d'étapes d'exécution de l'algorithme. Ainsi grandira avec le nombre de site de Monte Carlo (c'est à dire comme L^d). Il simulera une des valeurs du temps de simulation grandissant avec le système comme (^21(*)). Ce résultat nous conduit à une mesure difficile pour de grands systèmes (L >>) aux régions critiques. A titre d'exemple, lorsque L = 100 on peut compter environ 150.10⁹ (plusieurs semaines avec un processeur moyen) afin d'avoir une valeur raisonnable de ô.

La raison fondamentale des grandes valeurs de z dans l'algorithme de Métropolis est la divergence que présente la longueur de corrélation à l'approche de la transition. A , plusieurs régions forment des spins parallèles « domaines ou clusters» et il est difficile pour les algorithmes de parcourir ces domaines étant donné qu'ils opèrent spin par spin mettant ainsi assez de temps. De plus chaque marche prenant une grande probabilité, le site considéré sera rejeté à cause des interactions ferromagnétiques entre proches voisins. La possibilité d'arriver au spin central est donc faible à cause de l'action vers lui de ses plus proches voisins^22(*).

L'algorithme de Métropolis est donc moins adapté pour une étude sur un système quelconque, il apprécie mal la divergence observée au point critique, quand l'exposant dynamique est faible. Pour une généralisation, ces inconvénients seront contournés par un nouvel algorithme, utilisant un exposant dynamique plus petit et pouvant ainsi agir dans certaines complexités : l'algorithme de Wolff.

2.2.3. L'algorithme de Wolff

La solution aux problèmes présentés au dernier paragraphe fut apportée par l'algorithme de Wolff en 1987. Son idée de base étant donc d'observer le système plutôt sous l'angle des clusters que sur celui des spins comme les autres algorithmes. Ce type d'algorithme se référencie dans la catégorie des algorithmes à marche sur cluster ou plus simplement « algorithme de domaine », qui devinrent très célèbre ces dernière années.

Comment allons nous donc repérer ces clusters sur lesquels nous marcherons ? La stratégie la plus simple (utilisée par Wolff) se suggère d'elle-même. Il s'agit de prendre au hasard un spin de la matrice et de regarder si ses proches voisins sont parallèlement orientés. Dans ce cas, l'on évoluera de proche en proche jusqu'à construire itérativement un cluster entier. Cependant, l'on ne peut considérer au premier regard sur une matrice des spins parallèles. Combien de retournements dépendront en effet de la température ? Nous savons par exemple qu'à haute températures^23(*), les spins dans le modèle d'ISING tendent à ne pas se corréler. Par ailleurs, à l'approche de la taille des clusters est grande et le ferromagnétisme s'installe orientant préférentiellement plusieurs spins, à la limite de la couverture totale de la matrice. En d'autres termes, la taille des clusters que nous retournons pourrait augmenter lorsque T décroît. Tout ceci est physiquement réalisable si l'on choisi au préalable un bon exemple de cluster. Mais nous n'ajouterons pas tous les spins voisins parallèles, nous avons la probabilité dite d'addition [2] qui grandit lorsque T décroît. D'où plus simplement, nous observons les voisins des spins que nous retournons et en fonction de nous les ajouterons. Lorsque nous aurions rodé en refaisant à chaque fois les mêmes tests, sur toute la zone des spins similairement orientés, nous retournerons le cluster avec un taux d'acceptation dépendant de l'énergie du retournement. La question est alors posée sur la détermination du rapport d'acceptation correct pour notre algorithme satisfaisant la balance spécifique, et dans ce cas quel sera le meilleur choix du pour faire tendre ce rapport le plus proche possible de 1 ?

* ²¹ Pour le modèle d'Ising à 2 dimensions on a (d + z = 4) soit L⁴

* ²² Un spin central à 4 proches voisins de 1^er ordre et 8 proches voisins au 2^nd ordre.

* ²³ Phase para-magnétique.