Etude des Phénomènes Critiques par les Méthodes de Monte Carlo : Cas du modèle d'Ising à 2 D pour la transition de phase Ferro<->Para

2.2.3.1. Rapport d'acceptation pour les algorithmes de cluster

Nous regarderons à présent ce que le rapport d'acceptation sera pour cette marche entre cluster, nécessairement la condition de balance détaillée sera vérifiée. Ce rapport, nous l'avons dit au chapitre précédent, défini la possibilité que l'entité considérée (ici le cluster) soit tenu en compte dans le processus sachant que la marche entre deux états ì et í ici peut être sur une direction préférentielle considérée dans les deux sens. L'on adjoint à la probabilité d'addition, celle de non addition (1 - ) représentant la probabilité de brisure des sauts à la frontière du cluster, la condition de balance spécifique pour obtenir

(2.13)

Où `m' et `n' sont les nombres de sauts brisées respectivement dans les marches allés et retours, nous retrouvons les rapports d'acceptation des deux sens du mouvement A(ì?í) et A(í?ì). La différence d'énergie entre les deux états, E_í - E_ì dépend du saut qui à été brisé. Nous obtiendrons ainsi pour les `m' bonds brisés à l'allé une variation d'énergie de +2J et pour les n saut retours, elle sera -2J, d'où

E_í - E_ì = 2J(m - n) (2.14).

Introduit convenablement dans l'équation (2.13) nous ressortons la condition du rapport d'acceptation

D'où si l'on prend

(2.15)

On aura

= 1 (2.16).

Nous aurions de ce fait imposé au rapport de droite d'être maximal indépendamment des propriétés des états ì ou í, de la température ou de tout autre quantité observable. Avec ce choix nous pouvons faire un rapport d'acceptation égale à 1, pour les prochains ou précédents mouvements, qui est ainsi la meilleure valeur que nous pouvons prendre. Chaque mouvement que nous proposerons sera dès lors accepté et l'algorithme satisfera la condition de balance détaillée.

2.2.3.2. Algorithme détaillé de Wolff et avantages

Le choix de l'équation (2.15) défini donc l'algorithme des clusters et en particulier celui de l'algorithme de Wolff pour le modèle d'ISING à 2 D. l'algorithme de Wolff peut donc se détailler comme suit :

1. Choix au hasard du spin de départ (spin idéal) dans la matrice

2. Observer ses voisins par retournement de chacun. S'il est pointé vers la même direction, alors l'ajouter au cluster avec la probabilité d'addition.

3. Pour chacun des spins ajoutés dans les conditions de la 2^ième étape, examiner chacun de leurs voisins respectifs, cherchant ceux des spins ayant la même orientation afin de les ajouter aussi dans le cluster avec la même probabilité (il faut noter qu'autant que notre cluster grandira, nous devons examiner de proche en proche tous les voisins et veiller à rejeter un spin déjà considéré précédemment). Cette étape devra être répétée autant que cela sera nécessaire tant qu'il y'aura des spins qui n'ont pas été considérés.

4. Retourner le cluster

NB. L'écriture sous forme d'organigramme de cet algorithme est présentée en annexe 4

Autant que nous aurions la condition de balance détaillée, cet algorithme satisfait clairement les critères d'Ergodicité vus au chapitre précédent. Pour le constater, on remarque que l'on est sure avec cet algorithme que tous les spins seront considérés et introduit autant que possible dans un cluster durant un temps fini. Chaque mouvement générera automatiquement et précisément un autre dans un temps fini tel que le précise l'Ergodicité. D'après la condition de balance détaillée, notre algorithme nous garanti que les états de notre matrice qui apparaîtrons après l'équilibre le seront avec leurs probabilités de Boltzmann correct.

L'on remarque en effet aussi que augmente lorsque la température décroît, d'où la taille du cluster grandira lorsqu'il y'aura refroidissement^24(*) ! Le retournement de ces clusters est plus facile ici qu'avec l'algorithme de Métropolis. Donc nous souhaitons qu'à chaque instant l'algorithme prenne un faible exposant dynamique, aussi petit que possible.

* ²⁴ Phase ferro-magnétique