Etude des Phénomènes Critiques par les Méthodes de Monte Carlo : Cas du modèle d'Ising à 2 D pour la transition de phase Ferro<->Para

3.2. Détermination de l'équilibre thermique.

D'après les grandes lignes de l'algorithme de Métropolis présenté au précédent chapitre, pour passer d'un état à un autre, il suffit de choisir de manière aléatoire un spin et de le retourner si ce nouvel état est plus stable ou dans le cas contraire s'il est plus probable. Les mesures étant réalisées sur des systèmes ayant un grand nombre de spins (échantillonnage important), les configurations ainsi obtenues seront fortement corrélées.

Par contre, si dans une assemblée de N x N spins, on considère comme état, la configuration obtenue après avoir répété l'algorithme de base sur les N x N spins, les configurations successives obtenues seront cette fois ci moins corrélées.

Le temps nécessaire qu'il faut pour parcourir une assemblée de N x N spins et de tirer à chaque fois de manière aléatoire (ou pas), le spin à retourner à une température donnée est appelé « Pas de Monte Carlo » (MCS)^25(*).

Nous devons donc exécuter notre simulation durant un temps suffisamment long pour que le système de spins atteigne l'équilibre à la température donnée. Cette durée est appelée temps d'équilibre ô_eq. A l'équilibre thermique, la probabilité moyenne d'avoir notre système dans un état particulier ì est proportionnelle au poids de Boltzmann de cet état.

Les méthodes de Monte Carlo étant essentiellement probabilistes, il est important de s'assurer que les probabilité générées sont effectivement aléatoires : pour cela, nous avons utilisé l'algorithme de génération des nombres aléatoires par congruence linéaire (voir annexe 2) avec éventuellement un mélange (shuffling) et en utilisant différentes « graines »^26(*).

Nous avons représenté sur la figure 3.1 ci-dessous, les résultats de notre simulation pour trois^27(*) types de « graine » sur un réseau carré de 100 x 100 spins à la température T = 2.4K. Nous sommes parti d'un état où tous les spins sont alignés (T = 0K) et `réchauffé', jusqu'à l'équilibre thermique à T = 2.4K. Nous constatons sur cette figure que les meilleurs résultats s'obtiennent avec une « graine » égale à 3001. L'équilibre thermique est atteint au voisinage de t = 600 MCS/Site.

Figure 3.1 : Aimantation du système de 100 x 100 spins du modèle d'Ising à 2 D en fonction du temps (en MCS/Site) pour trois types de graine simulé avec l'algorithme de Métropolis. Les nombres aléatoires sont générés par congruence linéaire simple et l'équilibre thermique est atteint au voisinage de t = 600 MCS/Site à T = 2.4K

Figure 3.2 : Aimantation du système de 100 x 100 spins du modèle d'Ising à 2 D en fonction du temps (en MCS/Site simulé avec l'algorithme de Métropolis. Les nombres aléatoires sont générés par congruence linéaire simple ou suivie d'un shuffling et l'équilibre thermique est atteint au voisinage de t = 800 MCS/Site à T = 2K

Nous avons refait les simulations avec la graine déterminée précédemment mais à T = 2°K et en générant les nombres aléatoires par congruence linéaire simple ou suivie d'un mélange (shuffling). La simulation à débutée à T = 8, - état où tous les spins ont des directions complètement aléatoires et M = 0- et « refroidi » jusqu'à l'équilibre thermique à T = 2°K. le temps étant mesuré en MCS/Site, l'équilibre est atteint au bout de 800 pas par site. Les résultats sont représentés sur la figure 3.2 ci-dessus, et on peut remarquer que la congruence linéaire simple donne les résultats meilleurs que celle suivie d'un mélange.

Nous allons donc, de ce qui précède à poursuivre nos simulations avec une graine de 3001 et une congruence linéaire simple pour générer nos nombres aléatoires.

Nous avons pensé qu'il serait intéressent de visualiser l'équilibre thermique directement en représentant le système de spins en fonction du temps d'observation. La figure 3.3 nous montre une succession d'état du modèle d'Ising à 2 D, sur un réseau carré de 100 x 100 spins à la température T = 2.4K, partant d'un état où tous les spins sont alignés sont alignés (T = 0 K) et « réchauffer », jusqu'à l'équilibre thermique à T = 2.4K. Le temps étant mesuré en Monte Carlo Step

t = 0	t = 1	t = 2
t = 4	t = 6	t = 10
t = 20	t = 40	t = 100
t = 200	t = 500	t= 800

Figure 3.3 : Douze états de 100 x 100 spins du modèle d'Ising à 2 D amenés à l'équilibre thermique à T=2.4K au bout de t = 400 MCS/Site avec l'algorithme de Métropolis. Les spins Up (+1) sont représentés en noir et les spins Down (-1) sont en blanc.

Cependant, la détermination de l'équilibre thermique par cette procédure n'est pas précise. Il est vivement conseillé de représenté plutôt l'aimantation moyenne « m » du système en fonction du temps d'observation et d'identifier le temps au bout duquel l'aimantation atteint la saturation.

Nous avons donc effectué nos simulations pour plusieurs autres températures et nous avons constaté que hors mis les températures proches de la transition (T=2.2°K et T=2.3°K) pour lesquelles l'équilibre thermique intervient au bout de 2000 MCS/Site, il est en dessous de 1000 MCS/Site pour les autres températures. La figure 3.4 ci-dessous représente les résultats pour T=2.2°K, partant d'un état initial désordonné (abaissement de température). On y remarque que la saturation a lieu pour une aimantation bien en dessous de un (1), ce qui est normal puisque nous quittons d'une phase à une autre.

Figure 3.4 : Aimantation du système de 100 x 100 spins du modèle d'Ising à 2 D en fonction du temps (en MCS/Site) simulé avec l'algorithme de Métropolis. L'équilibre thermique est atteint au bout de t = 200 MCS/Sites à T = 2.2K. La simulation a débutée avec des spins complètement aléatoires, puis « refroidie' jusqu'à l'équilibre à T = 2.2K.

Remarquer que l'on parle de « refroidir »²⁸ ou de « réchauffer »²⁸ pour un système qui a l'air de subir une trempe^28(*). Il faut en effet considérer que nos températures varient progressivement.

* ²⁵ MCS vient de l'anglais « Monte Carlo Step »

* ²⁶ La graine est un nombre caractéristique des algorithmes de génération de nombres aléatoires

* ²⁷ Nous avons essayé avec les graines 1003, 10401, 3001 d'après la documentation [2]

* ²⁸ La trempe est une opération de traitement thermique qu'on opère sur des alliages, pour leurs conférer des propriétés mécaniques spéciales. Elle consiste à une chute brutale de température par trempage dans un liquide. Pour nos simulations, nous nous plaçons directement à une température déterminée partant d'une autre. Ce qui ressemble à une trempe. Dans la réalité, nos matériaux se trouent dans un four à température contrôlée et variable. De ce fait les variations de températures sont douces.