Etude des Phénomènes Critiques par les Méthodes de Monte Carlo : Cas du modèle d'Ising à 2 D pour la transition de phase Ferro<->Para

1ère Partie : Etude théorique

Chapitre 1

Bases des simulations par les méthodes de Monte Carlo pour les transitions de phase magnétiques

1.A. Introduction.

Il nous paraît utile de présenter d'entrée de jeu de cette partie, une vue sur la mécanique statistique qui nous permet notamment de retrouver les expressions réelles des grandeurs physiques - que nous déterminerons avant de retrouver l'état optimal auquel tout système physique à tendance à basculer (l'état d'équilibre)-, pour mieux étudier les phénomènes critiques.

1.A.1. La mécanique statistique

La difficulté cruciale rencontrée dans les systèmes que nous étudions est qu'ils sont composés de plusieurs blocs (atomes ou molécules) généralement identiques, pouvant avoir en très petit nombre des différences mais obéissants tous néanmoins à de simples équations du mouvement. De ce fait, tout le système peut être mathématiquement modélisé de différentes façons. Cependant, le nombre d'équations (obtenu par l'étendu du problème) rend impossible la résolution mathématique exacte. Par ailleurs, les conditions macroscopiques observables dans lequel est plongé le système nous permettent de prédire et simplifier d'avantage certaines de ces équations. La mécanique statistique essaye donc de trouver les solutions de ces équations par des procédés et propriétés probabilistes définis sur plusieurs états.

Le vrai paradigme que nous étudierons ici, est que le système est gouverné par un Hamiltonien H qui donne l'énergie totale du système dans n'importe quel état particulier. Ces énergies pouvant êtres discrètes ou continues. L'état d'énergie stationnaire étant celui pour lequel l'énergie reste constante au cours du temps, on observe des échanges entre les différents états dégénérés. Un autre obstacle que nous rencontrons est celui de l'influence du réservoir thermique. C'est un très grand système qui peut être pris comme une source (de température par exemple), échangeant constamment de l'énergie avec notre système dans la mesure où nous impulserons toujours de la température au système comme définie en thermodynamique. Nous pouvons incorporer l'effet de notre réservoir dans nos calculs en donnant au système la dynamique de la règle par laquelle il change périodiquement d'état. La nature exacte de cette dynamique est dictée par la forme de la perturbation de l'Hamiltonien que le réservoir produit dans le système. A cet effet, considérons le cas suivant:

Soit la probabilité au système de passer d'un état ì à autre état õ. est le taux de transition et doit être normalement indépendant du temps. En supposant cette hypothèse réalisée l'on peut définir pour tout état possible õ que le système peut avoir. Ces transitions de phases sont généralement tout ce que nous pouvons avoir sur la dynamique. D'où, connaissant un état u du système, nous n'avons besoin que d'un court instant « dt » pour que le système évolue vers n'importe quel autre état í. Nous appliquons ce raisonnement lorsque le traitement probabiliste entre en jeu. Définissons^1(*), la probabilité du système d'être à l'état u à l'instant t. La mécanique statistique propose que ces poids nous informe entièrement sur l'état du système. Nous pourrons donc écrire la grande équation de l'évolution de avec les termes de tel que :

(1.1)

Le premier terme de droite représente le taux de probabilité du système d'être à l'état u, tandis que le second est le taux de probabilité du système d'être juste au dessus de cet état mais avant le suivant. Toutefois, nous devons avoir la condition

(1.2)

Tant que le système sera dans cet intervalle d'état. La solution de l'équation (1.1) nous donne la variation temporelle du taux qui peut nous permettre de retrouver les propriétés macroscopiques de notre système. Mais comment donc?

Si nous désirons par exemple déterminer la quantité Q qui prend à l'état u la valeur Q_u, nous définirons la valeur moyenne de Q à l'instant t pour tout le système par

(1.3)

Il est claire que cette quantité contient d'importantes informations que nous sommes sensé avoir expérimentalement. Par ailleurs la valeur précise Q de son observable n'est peut-être pas assez claire.

En effet, imaginons que nous avons un grand nombre de complexions (copies) de notre système qui interagissent chacun avec son réservoir thermique passant d'un état à un autre durant toute la durée de l'observation. L'on croirait que sera dès lors à sa meilleure estimation si nous faisions une moyenne pondérale des valeurs de Q obtenues séparément pour chaque système. Pourtant, il en existe bien plus que ce que l'on considère! En réalité nous n'avons sur la main expérimentalement qu'un seul système sur lequel nous opérons toutes nos mesures de Q, d'où il ne s'agit pas d'une simple mesure instantanée, mais d'une intégration de la mesure sur une période de temps T. C'est ainsi que l'on détermine l'espérance sur une moyenne de temps, de la quantité Q.

Le calcul de l'espérance est un des buts principaux de la mécanique statistique, et des simulations par Monte Carlo en Physique statistique. Cependant, pour y arriver le système doit être préparé à nous fournir des valeurs assez représentatives de sa configuration. [3] Boltzmann nous renseigne que c'est à un état dit d'équilibre que nous pouvons avoir ces grandeurs là.

1.A.2. L'état d'équilibre

Reconsidérons la grande équation (1.1); si jamais notre système atteint l'état où les 2 termes de gauche deviennent équivalents au point de s'annuler ou de donner un autre terme constant, alors la variation du taux sera nulle et le poids statistique sera constant pour tout le reste du temps : c'est l'état d'équilibre. C'est à ces instants que l'on observe les interactions entres les éléments du système. Tout système gouverné par l'équation (1.1) atteint forcement l'équilibre. Il s'agira donc pour nous de simuler ces systèmes par la technique de Monte Carlo. Le taux de transition apparaissant dans (1.1) ne doit juste prendre que quelques valeurs. Le point important est que nous connaissons à priori les valeurs de à l'équilibre. Elle nous permet d'avoir ce que l'on appellera « probabilité d'occupation à l'équilibre », notée

(1.4)

Gibbs (1902) [3] montra que pour un système à l'équilibre thermique tel un réservoir à la température T, on a (1.5)

Où E_u est l'énergie à l'état u et Z la fonction de partition telle que

(1.6)

Avec l'énergie d'agitation thermique (1.6')

A présent que l'équilibre thermique est atteint dans les conditions sus-citées, nous pouvons déterminer les expressions des différentes grandeurs recherchées afin de pouvoir les simuler pour obtenir les configurations du système.

* ¹ Cette probabilité peut aussi être appelée `poids statistique' étant donné quelle définie la force de présence du système à l'état ì.