Etude des Phénomènes Critiques par les Méthodes de Monte Carlo : Cas du modèle d'Ising à 2 D pour la transition de phase Ferro<->Para

1.B.3. Cas du modèle d'ISING.

Pour essayer de rendre toutes ces relations un peu plus concrètes, nous introduisons à présent un concept nouveau : le modèle d'ISING. Certainement l'un des plus recherché ou étudié en physique statistique. C'est un modèle d'aimant. Les principes essentiels rodant autour de l'aimantation et des models magnétiques sont que l'aimantation d'un matériau se compose de moments magnétiques de plusieurs dipôles magnétiques conjugués de spin. Le modèle postule qu'une matrice (de dimension définie en fonction de la géométrie du problème) peut représenter tous les états possibles de spin d'un système. L'évaluation des propriétés se fait donc en manipulant directement la matrice à travers les différents états du système définis par les coefficients de la matrice. Par soucis de simplification, ces coefficients (valeurs des spins) prennent les valeurs^9(*). Dans le modèle magnétique réel, les spins interagissent entre eux (entre voisins), l'on tient donc compte de cette autre contrainte en introduisant dans l'Hamiltonien les énergies d'interaction notées J (pour les 1^ers voisins) et J₁ (pour les 2^nds voisins) facteurs des termes d'interactions. On aura [11]

(au 1^er ordre) (1.28)

(au 2^nd ordre) (1.28')

Où i et j sont les coordonnées du spin de la matrice ; dans la mesure où l'énergie d'interaction dipolaire varie en on aura. En plus, le signe (-) en J est conventionnel et indique le sens de l'interaction sur les paramètres J, lorsque J>0, tous les spins sont Up et nous avons le modèle ferromagnétique. Dans le cas contraire, nous obtenons un modèle dit anti-ferromagnétique.

Autant que chaque site (coefficient) peut prendre deux valeurs, notre matrice de dimension N (nombre de spin) peut décrire donc 2^N états possibles. Ce qui nous permettra de redéfinir la fonction de partition décrite plus haut à l'équation (1.16) par :

(au 1^er ordre) (1.29)

(au 2^nd ordre) (1.29')

Comme dit précédemment, nous pourrions ainsi avoir avec Z toutes les propriétés thermodynamiques du système et même leurs variables conjuguées. Comme définies plus haut ;

La susceptibilité magnétique par spin d'après (1.23) est :

(1.30)

La chaleur spécifique par spin se référant à (1.19) sera :

(1.31).

De l'expression de l'Hamiltonien donnée en (1.28), si nous considérons à présent une variation partielle du champ J₁ = B, l'on fera donc intervenir B_i dans la sommation. La moyenne de l'aimantation sera. Où (simplement notée m) représente la moyenne par spin, elle est plus généralement utilisée:

(1.32)

La fonction de corrélation connectée sera

(1.33).

Toutes ces grandeurs sont encore plus intéressantes par visualisation à l'équilibre thermique lorsque nous l'atteignons, par les méthodes numériques.

* ⁹ s = #177;1 (unité de longueur de spin) suivant qu'il soit ? ou ?(voir physique atomique)