Etude des Phénomènes Critiques par les Méthodes de Monte Carlo : Cas du modèle d'Ising à 2 D pour la transition de phase Ferro<->Para

1.B.2. Fluctuation3(*), Corrélations4(*) et Réponse

La mécanique statistique peut nous informer sur d'autres propriétés du système telles l'entropie et la pression. Une des plus importantes classes de ces propriétés est la fluctuation des quantités observables. Il a été décrit plus haut comment le calcul des espérances tient compte de la moyenne temporelle sur plusieurs mesures de la même propriété pour un système simple. En plus, pour calculer la vraie valeur de ces différentes mesures, il serait préférable de calculer leurs variations spécifiques qui nous donne la mesure de la variation de la quantité que nous observons sur le temps et nous donne aussi quantitativement (avec approximation) le nombre d'essais effectués pour avoir la bonne valeur (valeur propre) de l'espérance (observable).

Par exemple, considérons l'énergie interne U, la moyenne du carré de la déviation individuelle instantanée de la mesure de l'énergie est

(1.16)

Des formules (1.7), (1.8) et (1.9), nous obtenons aisément et / ou par dérivation de la fonction de partition Z on a aussi, ce qui nous donne

(1.17)

Utilisant (1.10) pour éliminer la 2^nde dérivation on écrira alors

(1.19)

D'où, l'écart type^5(*) de E sera . (1.20)

Ce résultat nous est intéressant pour plusieurs raisons :

Primo, il nous donne la magnitude (l'étalement) de la fluctuation en terme de chaleur spécifique `C'^6(*). Nous pouvons ainsi trouver toutes les fluctuations des quantités que nous avons en thermodynamique classique en sachant que nous devons absolument tenir compte de l'approche microscopique que la thermodynamique n'a pas accès !

Segundo, hors de la limite de spectre d'énergie, les fluctuations sont élevées.

Ceci nous prête à croire à nos premiers arguments, que le traitement statistique peut nous offrir une véritable estimation exacte de l'environnement de notre système tel que nous l'espérions. La plus part des questions (le comportement) qui nous intéresse en matière condensée se trouvent autour de la limite thermodynamique, où l'on ignore la fluctuation pour de large systèmes. Ainsi les algorithmes informatiques s'exercent à simuler le comportement à cette limite pour d'aussi larges systèmes que possible en un temps appréciable.

Qu'en est il donc à présent de la fluctuation pour d'autres variables thermodynamiques? D'après les équations (1.5) à (1.7) ainsi que la définition de variable conjuguée vu plus haut, nous pouvons réécrire de manière générale, pour une grandeur quelconque X

= (1.21)

Où contiennent les termes en contenus dans l'Hamiltonien du système. La technique utilisée pour le calcul de la température moyenne d'une quantité est de réécrire

(1.22)

Il est évident qu'aucun champ de couplage de cette quantité ne se trouve dans l'Hamiltonien. Dans le cas contraire, nous utiliserons un champ fictif que nous introduirons dans l'Hamiltonien pour y assurer le couplage, utiliser (1.22) et le réduire enfin en un champ nul après dérivation. Méthode communément utilisée en mécanique statistique. Une autre dérivée de logZ qui respecte Y produit un autre facteur de dans la somme sur tous les états u. Nous chercherons alors

(1.23)

Où nous reconnaissons les résultats tels trouvés plus haut à l'équation (1.17). Nous pouvons ainsi avoir la variance de n'importe quelle quantité X à partir de la dérivée seconde de l'énergie interne F sur sa variable conjuguée respective. On défini la susceptibilité de X sur Y par le rapport mesurant la force de X par le changement en Y contenu dans l'équation précédente et usuellement notée ÷ : (1.24)

D'où la valeur moyenne d'une variable X et sa variable conjuguée Y sont proportionnelles. Ce résultat est connu depuis le théorème de la réponse linéaire^7(*), qui nous donne un moyen de calculer (1.24) par la méthode de Monte Carlo en mesurant la taille d'une fluctuation sur une variable.

En étendant l'idée de la susceptibilité et par là le changement d'état de la thermodynamique classique, nous pourrons apprécier ce qui arrive lorsque nous changeons d'état (position sur l'espace de configuration) d'un paramètre. Pour aborder ce type de problème, nous utiliserons un modèle planétaire représenté par une matrice. C'est un modèle plus réaliste où i,j représentent coordonnées abscisses et ordonnées d'un point k. Une variable X_k aura un champ conjugué Y_k que nous retrouvons dans l'Hamiltonien par les termes avec pour tous les N sites k. On réécrira donc (1.21) et (1.22)

(1.25)

Où est la valeur de en un état u nous donnant donc une généralisation de ÷ par

(1.26)

En introduisant le résultat de (1.6) on obtient

=

Plus simplement (1.27)

Où est la fonction de corrélation^8(*) de x pour 2 points i et j connectés, que nous présenterons plus tard. L'exposant (2) représente l'ordre de la corrélation (ou le nombre de points).

* ³Linguistique : la fluctuation est une variation ou dénivellation d'une entité mesurée.

* ⁴Linguistique : la corrélation est le lien entre des éléments en relation (dits corrélés)

* ⁵ L'écart type peut mieux se comprendre comme étant une déviation standard.

* ⁶ La chaleur massique C ; est une grandeur extensible car dépendant de E (voir éq.(1.20))

* ⁷ La réponse d'une grandeur suite à une excitation a une expression linéaire de celle-ci.

* ⁸ Mesure du lien entre les points d'une variable x, son signe va avec la fluctuation.