Etude des Phénomènes Critiques par les Méthodes de Monte Carlo : Cas du modèle d'Ising à 2 D pour la transition de phase Ferro<->Para

1.B.4. Méthodes numériques

Les méthodes numériques nous permettent d'obtenir avec plus de justesse et de rapidité, les comportements des propriétés physiques précédemment définies. Nous avons la fonction Z qui est (nous l'avons montré) un élément pivot. Le problème actuel sera d'améliorer la somme de celle-ci sur un grand nombre d'états. Plus encore, il faudra considérer qu'à la limite thermodynamique, le nombre d'états doit être considéré infini. Ce travail à été réalisé sur un modèle plus simple d'énergie discret, le modèle d'ISING à deux dimensions [2]. Par ailleurs, la majorité des modèles s'intéressent, autant qu'il n'est pas encore possible, d'obtenir l'expression analytique exacte de Z.

La méthode la plus simple pour résoudre les problèmes en physique statistique est de convertir notre système en représentation matricielle (de dimension fonction de la géométrie du problème considéré) et de l'appliquer dès lors au modèle choisi. De ce fait, la fonction de partition Z deviendra une somme de nombre finie de terme (pour un espace discret) ou une intégrale sur l'espace considéré pour un spectre continu d'énergie), nous pourrions dès lors utiliser un ordinateur pour évaluer ces expressions. Regardons à présent ce qui se passe pour le modèle d'ISING.

Considérons un cas à deux dimensions, un système de 25 spins modélisables en une matrice carrée 5 x 5. En champ nul (B = 0), limitons les effets de bord en utilisant les conditions aux limites cycliques de BVK^10(*) (Born Von Karmer). Chaque spin pouvant prendre 2 valeurs (suivant qu'il soit Up ou Down), l'on aura alors 2²⁵ = 33554432 valeurs possibles (états possibles du système) ! Cependant, la matrice n'est jamais assez grande pour inclure toute la physique importante. Ceci ne veut pourtant pas dire qu'un développement matriciel est moins utile. Il existe des méthodes rendant le problème est moins difficile où le calcul numérique et les solutions exactes sont très appréciables. La technique des tailles d'échelle d'intervalle fini (pas de divergence), nous entraîne à extrapoler les résultats par des matrices de dimension finie aux systèmes de taille finie ou infinie et donne de bons résultats aux limites thermodynamiques [7].

Néanmoins, toutes ces techniques peuvent nous donner de bons résultats pour les propriétés critiques. La précision et l expression desdits résultats dépendent de la taille du système. Dès lors, il est judicieux pour nous de travailler avec d'aussi grand système que possible. Ce qui prendra nécessairement du temps car il faudra tenir non seulement compte de la géométrie du système mais aussi des caractéristiques techniques du calculateur utilisé. La partie sur les résultats obtenus nous en dira plus.

* ¹⁰ [5], [6] Chaque spin a 8 voisins. Dans la matrice, Les spins d'extrémité S_i?N sont voisins. D'un point de vue algorithmique, on imposera dans le cas d'une chaîne de longueur N, S_N+i = S_N. Ces effets peuvent influencer en raison de la petitesse du réseau !