Etude des Phénomènes Critiques par les Méthodes de Monte Carlo : Cas du modèle d'Ising à 2 D pour la transition de phase Ferro<->Para

3.5. Résultats comparés des algorithmes de Métropolis et de Wolff

Contrairement à l'algorithme de Métropolis qui traite individuellement chaque spin du cluster, l'algorithme de Wolff considère le cluster comme un seul spin et le traite ainsi globalement ; ce qui peut considérablement améliorer les résultats. Afin de comparer les deux algorithmes, nous avons considéré la transition de la phase Paramagnétique vers la phase ferromagnétique (des hautes températures vers les basses températures « refroidissement ») et nous avons représenté sur la figure 3.11 l'aimantation moyenne par spin, sur la figure 3.12 la chaleur spécifique moyenne à volume constant et sur la figure 3.13 la susceptibilité magnétique moyenne du système.

Ces courbes ainsi superposées, nous permettrons de comparer facilement l'efficacité de chaque algorithme vis-à-vis de l'autre pour les différentes étapes de la simulation.

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Température

Aimantation

Figure 3.11 : Aimantation moyenne par spin du système de 100x100 spins du modèle d'Ising à 2D en fonction de la température. Carrés : algorithme de Métropolis ; Cercles : algorithme de Wolff.

Les traits continus ne sont justes qu'un guide pour l'oeil.

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2,6

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1,8

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0,2

Température

Chaleur spécifique

Figure 3.12 : : Chaleur spécifique moyenne par spin du système de 100x100 spins du modèle d'Ising à 2D en fonction de la température. Carrés : algorithme de Métropolis ; Cercles : algorithme de Wolff.

Les traits continus ne sont justes qu'un guide pour l'oeil.

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Température

Susceptibilité

Figure 3.12 : : Susceptibilité magnétique moyenne par spin du système de 100x100 spins du modèle d'Ising à 2D en fonction de la température. Carrés : algorithme de Métropolis ; Cercles : algorithme de Wolff.

Les traits continus ne sont justes qu'un guide pour l'oeil.

On remarque effectivement que l'algorithme de Wolff améliore considérablement les résultats dans la zone critique, et que les deux algorithmes sont équivalents à hautes et basses températures (c'est à dire hors de la zone de transition).

Cependant, contrairement à l'algorithme de Métropolis dont les simulations ne prenaient que quelques heures (2 à 3 heures) sur un ordinateur Pentium III, l'algorithme de Wolff a pris plus d'une semaine sur un ordinateur Pentium IV^29(*). Rappelons que la fréquence de l'horloge du processeur d'un ordinateur défini le nombre d'opérations que ce calculateur peut traiter en une unité de temps (seconde), ce qui nous permet de juger de la complexité des algorithmes que nous disposons.

Un programme de simulation a été écrit sous Visual C++ 6.0 et baptisé ISampling, nous présentons ci-dessous quelques écrans principaux, notamment ceux permettant de modifier les paramètres de simulation.

3.6. Présentation du programme de simulation : ISampling

Afin de rendre plus pratique l'étude que nous avons mené, calculer les valeurs des propriétés, un programme de simulation a été mis sur pieds. Lequel programme écrit sous Visual C++ 6.0, exécute principalement les instructions des algorithmes de base, de calcul que nous avons décrit plus haut. Faisant référence à la donnée d'un échantillonnage important, `ISampling' permet non seulement de calculer les grandeurs physiques d'un système, mais aussi de représenter sont réseau de spin, tel à la figure 3.3 précédente

A travers ISampling, il est possible d'obtenir une simulation fidèle du comportement de l'énergie, l'aimantation, la chaleur spécifique moyenne, la susceptibilité magnétique, l'entropie, de l'équilibre thermique, de la fonction d'auto corrélation sous les algorithmes de Métropolis ou Wolff. (les versions futures, V3 et plus prendrons en compte d'autres algorithmes de simulation ainsi que d'autres modèles : Ising à 3D, XY, Heisemberg à 2D ou 3D).

Nous ne ferons pas dans ce mémoire une présentation détaillée du programme ISampling. A cet effet, le lecteur devra se référer au document d'utilisation du programme.

La fenêtre principale de ISampling contient :

une barre de menus { Fichier ; Affichage ; Simulation ; Options, Aide}

une barre d'outils { } permettant respectivement d'exécuter une simulation précédemment paramétrée, de faire un choix de visualisation d'une grandeur quelconque, d'ouvrir un nouveau fichier, d'enregistrer, d'imprimer, d'établir les options de simulation et du graphique.

une zone de résultat où s'affichent les résultats (graphes) de notre simulation telle que nous l'avons paramétré, exécuté et sous l'échelle que nous avons spécifiée

une barre d'état donnant à gauche les états d'exécution du programme et à droite la date du système.

Pour opérer une simulation, ISampling a besoin des paramètres de la simulation (Ctrl + P). Elles sont introduites dans la fenêtre d'option de simulation, puis il a besoins des paramètres graphique (Ctrl + G) permettant de configurer le repère sur lequel les données devront êtres représentées et enfin l'utilisateur lance la simulation (Ctrl + E).

La fenêtre d'option de simulation du sous menu `Simulation' du menu `Option' demande :

les informations sur le type de simulation que l'on souhaite effectuer ou d'algorithme que l'on désire utiliser.

les information sur l'échantillon : Le paramètre de maille `a' et la taille de l'échantillon, l'énergie d'interaction J entre voisins et de l'état du système (para ou ferro)

les informations de simulation : les temps d'observation, d'équilibre et de corrélation du système en MCS/Site, les températures initiales et finales ainsi que son pas de variation, le type de perturbation et de générateur de nombres aléatoires appliqué.

Il offre par ailleurs aussi la possibilité de faire ces calculs à partir de la fonction de partition.

Figure 3.14 : Fenêtres de paramétrage de simulation (gauche) et d'options graphiques (droite)

Figure 3.15 : Fenêtre du choix de visualisation d'une grandeur

Figure 3.16 : Fenêtre principale du programme ISampling

* ²⁹ Nous avons utilisé des ordinateurs Pentium III dont la fréquence de l'horloge du processeur était de 1.2 GHz et Pentium IV tournant à 2.2 GHz pour 512 Mo de RAM chacun.