Etude des Phénomènes Critiques par les Méthodes de Monte Carlo : Cas du modèle d'Ising à 2 D pour la transition de phase Ferro<->Para

1.C.3. Rapport d'acceptation

De tous ce que nous avons jusqu'ici mentionné comme élément important pour l'obtention rapide et efficace d'un système à l'état d'équilibre, nous avons pu généré un processus de Markov et avec ce dernier, nous avons pu retrouver de nouveaux états avec une probabilité. Mais cependant, il est difficile pour nous de prévoir le processus de Markov approprié si nous nous trouvons dans un état donnée, à sa bonne probabilité, et recherchons l'état suivant. Bien qu'il soit encore possible d'utiliser les conditions suscitées, nous pourrions ainsi suggérer plusieurs processus mais jusque là sans pouvoir avoir la bonne probabilité de déclenchement, c'est à dire celle nous permettant de transiter vers un état suivant tout en respectant les équations (1.34) et

(1.42).

La bonne nouvelle cependant est que nous n'aurions pas à faire cela ! En réalité, il y'a dégât lorsque nous nous laissons le choix de n'importe quel algorithme pour générer de nouveaux états et de ce fait il est nécessaire d'avoir une probabilité de transition souhaitée par introduction d'une condition d'acceptation du taux de transition. L'idée cachée derrière cette acceptabilité est la suivante :

Nous mentionnions précédemment que nous prévoyons introduire une probabilité de transition de base si nous le voulions. En posant í = u dans l'équation (1.42), nous obtenons une tautologie (1 = 1). Ceci voudrait souligner que la condition de balance détaillée est toujours vérifiée pour quelque soit la valeur de cette probabilité. Nous avons encore une certaine flexibilité sur comment nous choisirons les autres valeurs de pour. Nous pouvons donc ajuster la valeur de n'importe quelle telle que la règle de fermeture (1.34) soit vérifiée par simplement compensation de cet ajustement avec un autre ajustement équivalent mais opposé. La seule dont nous avons à observer est que ne passe jamais hors de ses limites (soit). Si nous faisons cet ajustement, nous pourrions ainsi nous arranger pour que l'équation (1.42) soit satisfaite en faisant un changement simultané aussi sur et alors l'on aura conservé leurs rapports.

Autrement dit, ces conditions nous donnent assez de liberté sur les possibilités d'opérer des transitions sur chaque site aux probabilités que nous souhaitons. Pour voir cela, décomposons le rapport de transition en deux parties, soit où est la probabilité sélective (ou la probabilité d'un état initial u de donner en fin d'étape un autre état í) et étant le rapport d'acceptation. (Tel que), nous indique si nous devons commencer sur un état donné u. Le choix de sa valeur nous est aussi libre. Choisir est équivalent à dire la certitude qui n'est cependant pas un cas que nous rechercherons. Il est donc à proscrire ! De ce qui précède, nous avons aussi une totale liberté sur le choix de depuis la contrainte (1.42) qui fixe le ratio

(1.43).

Remarquons que ?etpeuvent prendre n'importe qu'elle valeur souhaitée.

Notre contrainte supplémentaire donnée par la relation de fermeture (1.34) sera aussi satisfaite étant donnée que la somme limitera à l'état de la chaîne de Markov où nous avons commencé la sommation. Le cycle peut donc être déterminé à n'importe quelle niveau !

Ainsi, dans le but de créer notre algorithme de Monte Carlo, nous créerons un algorithme qui générera les états successifs simplement avec les données de et nous sélectionnerons ensuite les états qui nous sont utiles par la condition d'acceptation que nous choisirons telle qu'elle satisfera à l'équation (1.43). Ceci devra satisfaire toutes les requêtes des probabilités de transition tel que lorsque l'algorithme atteindra l'équilibre, l'on tirera la vraie probabilité de Boltzmann.

Tout ceci paraît plaisant, mais il faudra tenir compte de ce que si le taux d'acceptation est faible, notre algorithme paraîtra immobile, ce qui bloquera naturellement l'évolution du système. Il faut donc trouver un algorithme qui évoluera entres les états pour un large échantillonnage. Il est impératif à veiller à raccourcir le temps de traitement de notre matrice. Rechercher donc un algorithme qui respectera un temps convenable par rapport à l'échantillonnage qu'on dispose. Il suffit pour cela de remarquer que l'équation (1.43) ne fixe que le taux d'acceptation entre deux états distinct dans n'importe quelle direction avec la contrainte que ce taux est compris entre 0 et 1 bien qu'on puisse mathématiquement le multiplier proportionnellement par un coefficient réel.

La meilleure chose que nous puissions faire toutefois est de le garder, mais de tenir compte des caractéristiques des différents états en présence dans la probabilité de sélection et d'introduire aussi faiblement que nous pouvons le rapport d'acceptation idéal (c'est à dire celui qui génère de nouveaux états avec la vraie probabilité de transition).

Le bon algorithme est celui qui conserve le rapport d'acceptation (c'est à dire) !