Analyse et prévision des séries temporelles et financière

• Introduction générale
  
• L
  
• es séries temporelles constituent une branche de l'économétrie dont l'objet est l'étude des variables au cours de temps. Parmi ses principaux objectifs figurent la détermination des tendances au sein de ces séries ainsi que la stabilité des valeurs (et de leur variation) au cours de temps. On distingue notamment les modèles linéaires (principalement " AR" et "MA" pour Auto-Regressive et Moving Average) des modèles conditionnels notamment "ARCH" pour Auto-Regressive conditional Heteroskedasticity).
  
• Introduction de la première partie
  
• CHAPITRE1 :
  
  • Les processus aléatoires stationnaires et les processus "ARMA"
    
  • 
    
• Introduction :
  
  • Nous commencerons par poser la définition d'un processus stationnaire au sens strict (ou stationnarité forte) pour ensuite étudier les propriétés de la stationnarité de second ordre (ou stationnarité faible. Partant delà nous étudierons des processus stationnaire particuliers qui sont les bruits blancs.
    
  • 2 -1-Définition d'un processus stationnaire au sens strict 
    
    • "La stationnarité forte"
      
    • - Soit un processus temporel aléatoire (, tZ) : le processus
      est dit strictement ou fortement stationnaire le n-uple temps
      T et pour tout temps hT avec
      Z, i, avec i=1,..., n ; la suite () a la même loi de probabilité que la suite ( ).
      
    • Une façon équivalente de définir la stationnarité forte :
      
    • - Un processus est dit stationnaire au sens strict si pour toute valeurs ()
      
    • - La distribution jointe de la suite (dépend uniquement des intervalles de temps () est indépendante de la période t.
      
  • 2 - 2-Définition d'un processus stationnaire d'ordre deux
    
    • "La stationnarité faible"
      
    • Dans la pratique, on se limite généralement à requérir la stationnarité de second ordre si trois conditions suivantes sont satisfaites :
      
    • · t Z, E ()=m, indépendant de temps t
      
    • · t Z, V ()
      
    • · (t, h) Z², cov (,)=E; indépendant de temps Pour
      
    • La première condition porte sur les moments d'ordre un et signifier tout simplement que les variable aléatoire doivent avoir la même espérance quelque soit la date t. Autrement dit, l'espérance de processus doit être indépendante de temps. Enfin, la troisième condition porte sur les moments d'ordre deux résumé par la fonction d'autovariance c'est-à-dire la fonction d'autovariance de processus doit être indépendante du temps.
      
    • - En résumé, un processus est stationnarité au second ordre si l'ensemble de ses moments sont indépendants du temps.
      
  • 2-3-Caractéristique d'une série temporelle
    
    • Ø Moyenne et Variance :
      
    • E ()=
      
    • V ()=
      
    • Ø La fonction d'autocovariance :
      
    • La fonction d'autocovariance d'un processus est donnée par :
      
    • = cov (,) = E
      
    • Elle mesure la covariance entre deux valeurs de séparait par un certain délai h( retard), elle fournit des informations sur la variabilité de la série et sur les liaisons temporelles qui existe entre les différentes composantes de la série.
      
    • - La fonction d'autocovariance d'un processus stationnaire «» vérifiés les propriétés suivantes :
      
    • = cov (=var (
      
    • -==
      
    • =:fonction symétrique
      
    • Ø La fonction d'autocorrélation(FAC)
      
    • La fonction d'autocorrélation d'un processus stationnaire «  »est donnée par :
      
    • =
      
    • Remarque :
      
    • Le graphique de la fonction d'autocorrélation est appelé correlogramme, les sont calculer pour h=0, 1 , ... , k ; avec k : le décalage maximum admissible.
      
    • La fonction d'un processus stationnaire «  » vérifier les propriétés suivantes :
      
    • =1
      
    • =:fonction paire
      
    • v Test d'hypothèse et intervalle de confiance :
      
    • La variance des autocorrélations est donnée par :
      
    • Var ( ) =
      
    • = (1+2)
      
    • - Pour T grand :
      
    • =
      
    • - Pour tester la significativité statistique de terme d'autocorrélation :
      
    • v Règle de décision :
      
    • - Si On ne rejette pas Le coéfficient n'est statistiquement significative.
      
    • - Si:On rejette Le coefficient est statistiquement significative
      
    • v Intervalle de confiance :
      
    • ()=
      
    • Ø La fonction d'autocorrélation partielle (FAP) :
      
    • Cette fonction d'autocorrélation partielle mesure la corrélation et ; l'influence des autres variables décalés de H période (, ) ayant été retirée.
      
    • La fonction d'autocorrélation partielle de «  » est donnée par :
      
    • Le calcule se complexe si on augmente la valeur de h, on utilise donc l'algorithme de l'expression utilisée par Durbin(1960)
      
    • v Test d'hypothèse :
      
    • La statistique suivante ;
      
    • = N (0, 1) ; est utilisée pour tester la significativité de coefficient
      
    • ü  : =0
      
    • ü : 0
      
    • - Si ; on ne rejette pas, le coefficient n'est pas statistiquement significative.
      
    • - Si ; on rejette , le coefficient est statistiquement significative
      
    • v Intervalle de confiance :
      
    • Au niveau de confiance (1-) l'intervalle de confiance est donnée par :
      
    • ()=
      
    • Remarque : A la différance de l'intervalle de confiance ; cet intervalle est constant.
      
  • 2- 4-Le Processus bruit blanc 
    
    • Parmi la classe des processus stationnaires, il existe des processus particuliers. Ces processus sont très souvent utilisés en analyse des temporelles, car ils constituent en quelque sorte « les rubriques élémentaire »de l'ensemble des processus temporelles. En effet nous verrons par la suite que tout processus stationnaire peut s'écrire comme une somme pondérée de bruit blanc (théorème de Wold).
      
    • Un processus bruit blanc est un processus stationnaire à accroissement indépendante. On parle aussi de processus i.i.d (variable indépendante et identique distribuée)
      
    • -Un processus est un bruit blanc (,t Z ) ,il satisfait les deux conditions suivantes :
      
    • tZ ;
      
    • · E ()=0
      
    • · =E () =
      
    • En outre, on parle de bruit blanc gaussien lorsque la loi de probabilité du processus est elle-même gaussienne. iid N (m, )
      
    • 
      
    • Le théorème de Wold(1938) est le théorème fondamentale de l'analyse des séries temporelles stationnaire, nous commenceront par donner l'énoncer de ce théorème, nous définirons l'opérateur retard.
      
    • L'énoncé du théorème de Wold est le suivant:
      
    • =+
      
    • Ou :: Est une composante déterministe
      
    • : Est une composante stochastique (aléatoire)
      
    • On note quesont deux processus orthogonaux (indépendant) et avec =; avec
      
    • L'énoncé du théorème de Wold est souvent donné en introduisant «  un polynôme défini en l'opérateur retard ». Plus généralement, les modèles des séries temporelles sont souvent exprimés sous la forme de «  polynôme retard ».
      
    • - L'opérateur retard (noté L pour Log ou B suivant les ouvrages) est défini de façon suivante :
      
    • - On considère un processus stochastique (Z), l'opérateur retard noté L, est défini par la relation :
      
    • L=Z
      
    • Ø Les propriétés :
      
    • ü =jZ ; en particulier on a =
      
    • ü =c=c, jZ ; si =c, tZ avec cR
      
    • ü () == (i, j)Z²
      
    • ü = iZ
      
    • ü (+)=+=(i ,j)Z²
      
    • ü == () si <1
      
    • Jusqu'à présent nous avons vu que tout processus stationnaire pouvait s'écrire sous forme d'une somme pondérée infinie de choc passés (théorème de Wold). Pour toute cette classe de processus la décomposition de Wold est une première représentation n'est jamais la représentation optimale parmi toutes les représentations possibles d'un même processus. Or par définition, si l'on devait appliquer la décomposition de Wold, cela supposerait que l'on estime une infinité de paramètre (les). Donc dans la pratique, il convient de rechercher d'autres représentations possibles pour les processus temporels.
      
    • § Parmi les représentations les plus utilisées figurent les représentations "ARMA" pour AutoRegressive Moving Average. Cette représentation consiste en l'adjonction d'ordre fini (AR) et d'une composante moyenne mobile d'ordre fini(MA).
      
    • Nous allons donc commencer par définir la classe de processus AR, MA, ARMA afin que nous étudierons les conditions de la stationnarité.
      
    • Définissons à présent la classe AR, MA, ARMA
      
  • 1-1-Les processus "AR"
    
    • La définition générale d'un processus AR est la suivante :
      
    • § Le processus stationnaire (, t Z) satisfait une représentation « AR » d'ordre "p" noté AR(p) si et seulement si :
      
    • = avec = ou , R
      
    • On parle ici de représentation autorégressive, dans le sens ou la variable est déterminée par les valeurs passées :
      
    • 
      
  • 1-2-LES PROCESSUS "MA"
    
    • La définition générale d'un processus MA est la suivante :
      
    • Le processus satisfait une représentation "MA" d'ordre « q » noté MA(q), si seulement si :
      
    •  ; Le polynôme (L) étant défini par (L)=;j<q
      
  • 1-3- LES PROCESSUS "ARMA"
    
    • Naturellement, les processus « ARMA » se définissent par l'adjonction d'une composante moyenne mobile « MA »
      
    • § Le processus stationnaire satisfait une représentation « ARMA » d'ordre p et q si et seulement si :
      
    • Ainsi, on constate que les processus « AR » et « MA » ne sont que des cas particuliers des processus "ARMA" ; Un « AR(p) » correspond à un ARMA (p,0), de même façon un «  MA(q ) » correspond à ARMA(0,q).
      
  • 2-La stationnarité et l'inversibilité des processus « ARMA »
    
    • La question est alors de savoir sous quelles conditions sur les paramètres des polynômeset; Ces processus sont-ils stationnaire ?
      
    • Nous allons en outre introduire la notion d'inversibilité qui consiste à déterminer s'il existe une représentation « MA » (respectivement pour ``AR'') équivalente pour « AR » (respectivement pour ''MA'').
      
    • Ø Concernant les processus « AR » :
      
    • - U n processus AR(p) est toujours inversible ; il est stationnaire lorsque les racines de l'équation sont à l'extérieur de plan complexe.
      
    • - Un processus Stationnaire AR(p) peut être représenté sous forme MA (:
      
    • Ø Concernant les processus « MA » :
      
    • - Un processus MA(q) est toujours stationnaire, il est inversible si les racines de sont à l'extérieur de "L)=0" cercle unité de plan complexe.
      
    • - Un processus inversible MA(q) peut être représenté sous forme AR (:
      
    • Ø Concernant les processus « ARMA » :
      
    • -Un processus ARMA (p, q) est stationnaire et inversible si la partie «  AR » est stationnaire et la partie « MA » est inversible.
      
    • -Un processus ARMA (p, q) stationnaire et inversible peut étre présenter sous forme un processus MA () et AR ().
      
    • Avec est inversible
      
• CONCLUSION :
  
  • ans ce premier chapitre ; nous avons introduit la notion de la stationnarité du second ordre ou la stationnarité faible .D'après cette définition, un processus est stationnaire de second ordre si l'ensemble de ses moments d'ordre un et d'ordre deux sont indépendant de temps.
    
• INTRODUCTION :
  
• N
  
• CONCLUSION :
  
• CHAPITRE3 :
  
• Méthode de prévision des séries temporelles :
  
• Lissage exponentiel-Méthodologie de Box Jenkins
  
  • 1-1-DÉFINITION :
    
• CONCLUSION :
  
• Conclusion de la première partie
  
  • 
    
• Introduction de la deuxième partie
  
• 
  
• 
  
• Dans cette partie « Empirique », on choisie d'utiliser le logiciel E-Views6 pour bien appréhender tout ce qu'on avait vu dans la partie « Théorique ».
  
• En effet, Eviews est un logiciel de système d'exploitation Windows dans un des leaders mondiaux de logiciels d'économétrie. Ce logiciel donne une prévision de l'analyse des données scientifique, l'analyse financière, les prévisions des ventes et les prévisions économiques. En outre, les solutions logicielles Eviews matière de recherche et d'enseignement, entreprise, organisme gouvernementaux et les utilisateurs des étudiants à une analyse statistique puissant, de prévision des outils de modélisation.
  
• Pour ces raisons, nous utiliserons le logiciel Eviews afin d'obtenir des résultats précises à propos de modélisation de la série US/Euro Foreign Exchange Rate.
  
• Introduction de la série US/Euro Foreign Exchange Rate
  
• L
  
• es propriétés de long terme des séries financières de prix de devise intéressent depuis longtemps les financiers et les staticients. Dans ce travail empirique nous réexaminons cette question à propos du taux de change à partir de l'exemple de celui de l'Euro contre le Dollar.
  
• En effet, le taux de change d'une devise (une monnaie) est la cour (autrement dit le prix) de cette devise par rapport à une autre. Dans notre travail le taux de change d'euro en dollar est le nombre de dollar que l'obtient pour un euro. En outre, le taux de change est sans contexte une macro-économique importante. Pour une petite économique ouverte, l'ajustement de taux de change permet de lisser les chocs affectant les termes de l'échange. Dans une économie moins ouvert, il favorise l'ajustement des prix relatifs entre les secteurs des biens échangeables et celui des biens non échangeables. Le taux de change flottant varie alors en permanence et est déterminé par l'offre et la demande de chacune des deux monnaies sur le marché des changes.
  
• 
  
• L'objectif de notre étude alors de montrer qu'il est possible de retrouver les bases théoriques fondamentale simple permettant d'explique les déterminant à long terme de taux de conversation US/Euro entre 1999 et 2010 afin d'avoir une prévision à terme.
  
  • Si la statistique de Q-stat<X2 (N-p-q) on accepte l'existante de l'absence d'autocorrelation des résidus, alors les résidus constituent un bruit blanc ce qui nous donne un modèle valide.
    
  • Apres avoir effectué ce test on aura le résultat suivant :
    
• T
  
• oute personne chargée de décrire et d'analyser des séries chronologique et de mettre en ouvre des méthodes simples de prévision à court terme de type Box & Jenkins, de lissage exponentiel et méthode de HoltWinters.
  
• L'objet des séries temporelle est l'étude des variables au cour du temps, parmi ses principaux objectifs figurent la détermination de tendance au sein de ces séries ainsi que la stabilité des valeurs (et de leur variation) au cour de temps, ainsi la formation présente des méthodes empiriques de description et de prévision des séries financières c'est le cas de notre travail qui s'intéresse au taux de conversion d'une monnaie en une autre c'est le taux de change qui le prix, en monnaie étrangère qu'il faut payer pour obtenir une de monnaie nationale .La prise en compte d'une série stationnaire de taux de change US/Euro signifie que ce dernier est de nature à absorber les chocs économiques et qu'il existe une tendance de long terme que l'on peut interpréter comme un niveau d'équilibre vers laquelle ce taux revient en permanence, ce pendant que les études empiriques ne permettent pas de conclure car le taux de conversion à terme est un mauvais prédicteur de taux au comptant futur alors il existe une prime de risque (charge, liquidité, imperfections, ...), mais elle est instable et difficile à modéliser, donc à prévoir.
  
• Empiriquement, le taux de change demeure la bête noire des financiers, le travail empirique montre qu'il est très difficile de bien prévoir et expliquer les fluctuations de taux de change.
  
• v Cour du premier semestre de l'année, 2009-2010, 4ième Finance, de Technique de prévision de mon professeur et encadreur « Dr Jamel JOUINI »
  
• v Bourbonnais R., Terraza M. Analyse des séries temporelle en économie, 1998, PUF
  
• v Bourbonnais R, Terraza M, Analyse des séries temporelles, Application à l'économie et à la gestion, Ed. DUNOD, Paris, 2004*
  
  • G.E.P.Box, G.M.JENKINS, and G.C.Reinsel. Time series. Analysis, Forecasting and Control. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, third edition, 1994
    
• v Box, G., ANDG.JENKINS (1976): Time series Analysis Forecasting and Control. San Francisco
  
• v Gouréroux, C. ET Monfort, A. (1983), cour de séries temporelles, Economica, Paris
  
• v Dufour, Jean-Marie(2003), Lissage exponentiel, Université de Montréal, 2 page
  
• v Emmanuel Cesar&Bruno Richard, les séries temporelles. Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines. Module XML et Data Mining-Mars 2006
  
• v Serge Dégirine, cour de séries chronologique. Université Joseph Fourier, 17 Septembre 2007
  
• v Stein, J.L. (2005).  »the Fundamentals Determinants of the Real Exchange Rate of the US Dollar Relative of the Other G-7 Currencies « , document de travail n° 95/81 du Fonds Monétaire International
  
• v Engel, Charles, (2010). «Accounting for U.S. Real Exchange Rate Change «, Journal of Polical Economy, vol. 107, p.507-508
  
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