Parmi la classe des processus
stationnaires, il existe des processus particuliers. Ces processus sont
très souvent utilisés en analyse des temporelles, car ils
constituent en quelque sorte « les rubriques
élémentaire »de l'ensemble des processus temporelles.
En effet nous verrons par la suite que tout processus stationnaire peut
s'écrire comme une somme pondérée de bruit blanc
(théorème de Wold).
Un processus bruit blanc est un
processus stationnaire à accroissement indépendante. On parle
aussi de processus i.i.d (variable indépendante et identique
distribuée)
-Un processus est un bruit blanc
(,t Z ) ,il satisfait les deux conditions suivantes :
tZ ;
· E
()=0
· =E ()
=
En outre, on parle de bruit
blanc gaussien lorsque la loi de probabilité du processus est
elle-même gaussienne. iid N (m, )
SECTION2 :
Le théorème de Wold
Le théorème de Wold(1938) est le
théorème fondamentale de l'analyse des séries temporelles
stationnaire, nous commenceront par donner l'énoncer de ce
théorème, nous définirons l'opérateur retard.
1-Le théorème de
décomposition de Wold
L'énoncé du théorème de
Wold est le suivant:
=+
Ou :: Est une composante
déterministe
: Est une composante
stochastique (aléatoire)
On note quesont deux processus
orthogonaux (indépendant) et avec =; avec
2-Définition de l'opérateur
retard
L'énoncé du théorème de
Wold est souvent donné en introduisant « un
polynôme défini en l'opérateur retard ». Plus
généralement, les modèles des séries temporelles
sont souvent exprimés sous la forme de « polynôme
retard ».
- L'opérateur retard
(noté L pour Log ou B suivant les ouvrages) est défini de
façon suivante :
- On considère un
processus stochastique (Z), l'opérateur retard noté L, est
défini par la relation :
L=Z
Ø Les
propriétés :
ü
=jZ ; en particulier on a =
ü =c=c,
jZ ; si =c, tZ avec cR
ü () ==
(i, j)Z²
ü =
iZ
ü
(+)=+=(i ,j)Z²
ü == ()
si <1
Jusqu'à présent
nous avons vu que tout processus stationnaire pouvait s'écrire sous
forme d'une somme pondérée infinie de choc passés
(théorème de Wold). Pour toute cette classe de processus la
décomposition de Wold est une première représentation
n'est jamais la représentation optimale parmi toutes les
représentations possibles d'un même processus. Or par
définition, si l'on devait appliquer la décomposition de Wold,
cela supposerait que l'on estime une infinité de paramètre
(les). Donc dans la pratique, il convient de rechercher d'autres
représentations possibles pour les processus temporels.
| 
