Memoire Online - Analyse et prévision des séries temporelles et financière

L'analyse de ses séries touche énormément des domaines de la vie professionnelles, et plus précisément celui de la finance, l'image l'on pourrait se faire de cette analyse rassemblerait à un homme très âgé avec beaucoup d'expérience et une sagesse assez grande pour tirer des événements passés des indications sur le future, une sorte d'oracle.

En finance, ce serait plutôt une structure fondée sur le marché financier, fournissant ainsi le volume nécessaire d'information permettant de dresser une chronique historique des événements passés et courante d'une perturbation aléatoire .Dessus viendrait se greffer un protocole d'extraction des données, intégré suivant un modèle judicieusement adapté à l'analyse que l'on voudrait faire .Enfin, au sommet de cette pyramide, la réponse à la question posé au départ, qui sera la prévision. Afin de pouvoir bien appréhender les séries temporelles, l'article débutera par une première partie qui s'intéressera tout d'abord à « l'analyse des processus stationnaire et les processus "ARMA" », il poursuivra ensuite par « la présentation de l'algorithme de Box et Jenkins » qui décompose la modélisation "ARMA" en différentes étapes : identification, estimation,

Validation et prévision .Enfin, on élabore la méthode de lissage exponentielle. Ce pendant que la deuxième partie se concentrera aux « travaux empiriques »nous s'amuserons de jouer sur les informations passés et courantes d'une série de US/Euro Foreign Echange Rate afin d'obtenir une meilleure prévision.

e fait, le recourt à l'analyse en série temporelle financière peut sembler pertinent lorsqu'on dispose d'un nombre de données suffisamment important qui nous permettons d'obtenir des prévisions à cour terme sans investir en temps et en énergie dans la construction d'un modèle économique.

Introduction de la première partie

C'est une partie consacrée à l'étude théorique de l'analyse et prévision des séries temporelles : nous commencerons par un « premier chapitre » qui a le but d'introduire la notion du processus temporel et plus particulièrement la classe de processus "ARMA", cette présentation suppose qu'on définisse au préalable un certain membre de notions essentielles à l'analyse des séries temporelles, et en particulier la notion de "stationnarité". En effet, il existe plusieurs forme d'un processus stationnaire, la première représentait par la décomposition de Wold qui permet d'exprimer le processus comme une somme pondérés de bruit blanc ; et il existe certain processus stationnaire peuvent être représenté par des processus intégrant une partie "AR ","MA" et "ARMA". Nous allons donc à présent poser la définition de la stationnarité c'est pour cela nous attaquerons par la suite un « deuxième chapitre »qui s'intéressera à étudier de façon précise ce qui est un processus non stationnaire. Ainsi le fait qu'un processus soit stationnaire ou non conditionne le choix de la modélisation que l'on doit adopter, en règle générale si l'on s'entendent notamment à la méthodologie de "Box et Jenkins" ; c'est pour cela si le processus est issue d'un processus non stationnaire, on doit avant toute les choses, chercher à le "stationnariser" c'est-à-dire trouver une transformation stationnaire de ce processus c'est le but de ce chapitre qui permet d'étudier la méthode de moindre carrée ordinaire(MCO) pour un processus "TS" (trend Stationnary) et la méthode de filtre au différence si le processus est "DS" (defference Stationnary) et par la suite on applique les tests de racine unitaire de Dickey Fuller ,Phillips Perron et KPSS. En outre, nous arrivons à la « troisième chapitre » qui nous donne une vision

sur les méthodes de prévision des séries temporelles, il s'intéresse en premier lieu à la méthode de "lissage exponentiel" qui se divise en trois méthode: lissage exponentiel simple(LES), lissage exponentiel double et lissage exponentiel de HoltWinters, ce chapitre jette la lumière en deuxième lieu à la représentation de l'algorithme de Box-Jenkins (1976).

CHAPITRE1 :

Les processus aléatoires stationnaires et les processus "ARMA"

Introduction :

armi l'ensemble des modèles stochastique, une classe particulière des modèles appelée classe de processus aléatoire stationnaire va permettre de caractériser la structure de corrélation d'une série.

- Un processus aléatoire est une application « x» qui associer au couple (w, t) la qualité (w). Elle est telle que quelque soit t T fixé, xt est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé.

- Un processus stochastique est donc une famille aléatoire indexé par t noté (, tT) ou encore.

Nous commencerons par poser la définition d'un processus stationnaire au sens strict (ou stationnarité forte) pour ensuite étudier les propriétés de la stationnarité de second ordre (ou stationnarité faible. Partant delà nous étudierons des processus stationnaire particuliers qui sont les bruits blancs.

2 -1-Définition d'un processus stationnaire au sens strict

"La stationnarité forte"

- Soit un processus temporel aléatoire (, tZ) : le processus
est dit strictement ou fortement stationnaire le n-uple temps
T et pour tout temps hT avec
Z, i, avec i=1,..., n ; la suite () a la même loi de probabilité que la suite ( ).

Une façon équivalente de définir la stationnarité forte :

- Un processus est dit stationnaire au sens strict si pour toute valeurs ()

- La distribution jointe de la suite (dépend uniquement des intervalles de temps () est indépendante de la période t.

2 - 2-Définition d'un processus stationnaire d'ordre deux

"La stationnarité faible"

Dans la pratique, on se limite généralement à requérir la stationnarité de second ordre si trois conditions suivantes sont satisfaites :

· t Z, E ()=m, indépendant de temps t

· t Z, V ()

· (t, h) Z², cov (,)=E; indépendant de temps Pour

La première condition porte sur les moments d'ordre un et signifier tout simplement que les variable aléatoire doivent avoir la même espérance quelque soit la date t. Autrement dit, l'espérance de processus doit être indépendante de temps. Enfin, la troisième condition porte sur les moments d'ordre deux résumé par la fonction d'autovariance c'est-à-dire la fonction d'autovariance de processus doit être indépendante du temps.

- En résumé, un processus est stationnarité au second ordre si l'ensemble de ses moments sont indépendants du temps.

2-3-Caractéristique d'une série temporelle

Ø Moyenne et Variance :

E ()=

V ()=

Ø La fonction d'autocovariance :

La fonction d'autocovariance d'un processus est donnée par :

= cov (,) = E

Elle mesure la covariance entre deux valeurs de séparait par un certain délai h( retard), elle fournit des informations sur la variabilité de la série et sur les liaisons temporelles qui existe entre les différentes composantes de la série.

- La fonction d'autocovariance d'un processus stationnaire «» vérifiés les propriétés suivantes :

= cov (=var (

-==

=:fonction symétrique

Ø La fonction d'autocorrélation(FAC)

La fonction d'autocorrélation d'un processus stationnaire « »est donnée par :

Remarque :

Le graphique de la fonction d'autocorrélation est appelé correlogramme, les sont calculer pour h=0, 1 , ... , k ; avec k : le décalage maximum admissible.

La fonction d'un processus stationnaire « » vérifier les propriétés suivantes :

=:fonction paire

v Test d'hypothèse et intervalle de confiance :

La variance des autocorrélations est donnée par :

Var ( ) =

= (1+2)

- Pour T grand :

- Pour tester la significativité statistique de terme d'autocorrélation :

v Règle de décision :

- Si On ne rejette pas Le coéfficient n'est statistiquement significative.

- Si:On rejette Le coefficient est statistiquement significative

v Intervalle de confiance :

()=

Ø La fonction d'autocorrélation partielle (FAP) :

Cette fonction d'autocorrélation partielle mesure la corrélation et ; l'influence des autres variables décalés de H période (, ) ayant été retirée.

La fonction d'autocorrélation partielle de « » est donnée par :

Le calcule se complexe si on augmente la valeur de h, on utilise donc l'algorithme de l'expression utilisée par Durbin(1960)

v Test d'hypothèse :

La statistique suivante ;

= N (0, 1) ; est utilisée pour tester la significativité de coefficient

ü : =0

ü : 0

- Si ; on ne rejette pas, le coefficient n'est pas statistiquement significative.

- Si ; on rejette , le coefficient est statistiquement significative

v Intervalle de confiance :

Au niveau de confiance (1-) l'intervalle de confiance est donnée par :

()=

Remarque : A la différance de l'intervalle de confiance ; cet intervalle est constant.

2- 4-Le Processus bruit blanc

Parmi la classe des processus stationnaires, il existe des processus particuliers. Ces processus sont très souvent utilisés en analyse des temporelles, car ils constituent en quelque sorte « les rubriques élémentaire »de l'ensemble des processus temporelles. En effet nous verrons par la suite que tout processus stationnaire peut s'écrire comme une somme pondérée de bruit blanc (théorème de Wold).

Un processus bruit blanc est un processus stationnaire à accroissement indépendante. On parle aussi de processus i.i.d (variable indépendante et identique distribuée)

-Un processus est un bruit blanc (,t Z ) ,il satisfait les deux conditions suivantes :

tZ ;

· E ()=0

· =E () =

En outre, on parle de bruit blanc gaussien lorsque la loi de probabilité du processus est elle-même gaussienne. iid N (m, )

Le théorème de Wold(1938) est le théorème fondamentale de l'analyse des séries temporelles stationnaire, nous commenceront par donner l'énoncer de ce théorème, nous définirons l'opérateur retard.

L'énoncé du théorème de Wold est le suivant:

Ou :: Est une composante déterministe

: Est une composante stochastique (aléatoire)

On note quesont deux processus orthogonaux (indépendant) et avec =; avec

L'énoncé du théorème de Wold est souvent donné en introduisant « un polynôme défini en l'opérateur retard ». Plus généralement, les modèles des séries temporelles sont souvent exprimés sous la forme de « polynôme retard ».

- L'opérateur retard (noté L pour Log ou B suivant les ouvrages) est défini de façon suivante :

- On considère un processus stochastique (Z), l'opérateur retard noté L, est défini par la relation :

L=Z

Ø Les propriétés :

ü =jZ ; en particulier on a =

ü =c=c, jZ ; si =c, tZ avec cR

ü () == (i, j)Z²

ü = iZ

ü (+)=+=(i ,j)Z²

ü == () si <1

Jusqu'à présent nous avons vu que tout processus stationnaire pouvait s'écrire sous forme d'une somme pondérée infinie de choc passés (théorème de Wold). Pour toute cette classe de processus la décomposition de Wold est une première représentation n'est jamais la représentation optimale parmi toutes les représentations possibles d'un même processus. Or par définition, si l'on devait appliquer la décomposition de Wold, cela supposerait que l'on estime une infinité de paramètre (les). Donc dans la pratique, il convient de rechercher d'autres représentations possibles pour les processus temporels.

§ Parmi les représentations les plus utilisées figurent les représentations "ARMA" pour AutoRegressive Moving Average. Cette représentation consiste en l'adjonction d'ordre fini (AR) et d'une composante moyenne mobile d'ordre fini(MA).

Nous allons donc commencer par définir la classe de processus AR, MA, ARMA afin que nous étudierons les conditions de la stationnarité.

Définissons à présent la classe AR, MA, ARMA

1-1-Les processus "AR"

La définition générale d'un processus AR est la suivante :

§ Le processus stationnaire (, t Z) satisfait une représentation « AR » d'ordre "p" noté AR(p) si et seulement si :

= avec = ou , R

On parle ici de représentation autorégressive, dans le sens ou la variable est déterminée par les valeurs passées :

1-2-LES PROCESSUS "MA"

La définition générale d'un processus MA est la suivante :

Le processus satisfait une représentation "MA" d'ordre « q » noté MA(q), si seulement si :

; Le polynôme (L) étant défini par (L)=;j<q

1-3- LES PROCESSUS "ARMA"

Naturellement, les processus « ARMA » se définissent par l'adjonction d'une composante moyenne mobile « MA »

§ Le processus stationnaire satisfait une représentation « ARMA » d'ordre p et q si et seulement si :

Ainsi, on constate que les processus « AR » et « MA » ne sont que des cas particuliers des processus "ARMA" ; Un « AR(p) » correspond à un ARMA (p,0), de même façon un « MA(q ) » correspond à ARMA(0,q).

2-La stationnarité et l'inversibilité des processus « ARMA »

La question est alors de savoir sous quelles conditions sur les paramètres des polynômeset; Ces processus sont-ils stationnaire ?

Nous allons en outre introduire la notion d'inversibilité qui consiste à déterminer s'il existe une représentation « MA » (respectivement pour ``AR'') équivalente pour « AR » (respectivement pour ''MA'').

Ø Concernant les processus « AR » :

- U n processus AR(p) est toujours inversible ; il est stationnaire lorsque les racines de l'équation sont à l'extérieur de plan complexe.

- Un processus Stationnaire AR(p) peut être représenté sous forme MA (:

Ø Concernant les processus « MA » :

- Un processus MA(q) est toujours stationnaire, il est inversible si les racines de sont à l'extérieur de "L)=0" cercle unité de plan complexe.

- Un processus inversible MA(q) peut être représenté sous forme AR (:

Ø Concernant les processus « ARMA » :

-Un processus ARMA (p, q) est stationnaire et inversible si la partie « AR » est stationnaire et la partie « MA » est inversible.

-Un processus ARMA (p, q) stationnaire et inversible peut étre présenter sous forme un processus MA () et AR ().

Avec est inversible

CONCLUSION :

ans ce premier chapitre ; nous avons introduit la notion de la stationnarité du second ordre ou la stationnarité faible .D'après cette définition, un processus est stationnaire de second ordre si l'ensemble de ses moments d'ordre un et d'ordre deux sont indépendant de temps.

INTRODUCTION :

ous avons présenté dans le premier chapitre, la notion de la stationnarité, mais les chroniques économiques sont rarement des réalisations de processus aléatoires stationnaires, c'est pour cela, nous étudierons dans ce chapitre les processus aléatoires non stationnaires qui peuvent être observés graphiquement soit à partir de la série d'origine( existence d'une tendance, variabilité croissante au cour de temps), soit à partir de la fonction d'autocorrélation et décroissante lente .

La difficulté réside dans le fait qu'il existe différentes sources de non stationnarité et qu'à chaque origine du non stationnarité est associée une méthode propre de stationnarisation. Nous commencerons donc par présenter deux classe de processus non stationnaire, selon la terminologie de Nelson et Plosser(1982):les processus TS (Trend Stationnary) et les processus DS (Differency Stationnary); puis nous présenterons les méthodes de stationnarisation pour chacune de classe de processus; ensuite, nous verrons apparaitre les testes de racine unitaire de Dickey-Fuller, test de Phillips et Perron et test de KPSS.

^{Enfin, il ne reste plus qu'introduire une sous classe de
processus «ARMA»;c'est la classe des processus "ARIMA"(Integrate
AutoRegressive Moving Average).}

Commençons par définir ce qu'est un processus TS pour »Trend Stationnary», selon la terminologie proposée par Nelson et Plosser(1982).

-(, t Z) est un processus TS s'il peut s'écrire sous la forme suivante: avec f(t) est une fonction de temps et est un BB (0,)

Le cas le plus fréquent rencontré dans les séries économiques apparait lorsqu'on modélise f(t) par polynôme d'ordre un soit :

On dit également que ce processus présente une non stationnarité de type déterministe car seul le moment d'ordre un dépend de temps.

Le processus « TS » traduit l'existante de fluctuations stationnaires représentées par sa variance autour d'une tendance déterministe qui est sa moyenne. Afin de rendre ce processus "stationnaire", il s'agit d'enlever la tendance du processus après avoir estimé les coefficients de l'ordonnée à l'origine et de la pente par LA MÉTHODE DE MOINDRE CARRÉE ORDINAIRE(MCO).

Le processus résultant « » est bien stationnaire puisqu'il a les même propriétés que le terme d'erreur « ».

Comme nous l'avons précédemment mentionné, il existe une autre forme de non stationnarité, provenant non pas de la présence d'une composante déterministe tendancielle, mais d'une source stochastique. C'est pourquoi nous allons à présent introduire la définition de processus DS pour Differency Stationnary.

- Un processus non stationnaire ( , t Z) est un processus DS (Differency Stationnary) d'ordre « d » qui désigne l'ordre de l'intégration, si le processus filtré défini par :

; Avec L est l'opérateur retard, d est l'ordre d'intégration et B est une constante encore appelée dérive.

On dit également que ce processus présente une non stationnarité de type stochastique car tendance aussi que la variance sont variables dans le temps. Le cas le plus fréquemment rencontré lors de l'étude des séries d'observation est celui avec « d =1» : On parle de marché au hasard avec dérive ;

(1-L)=C'est un processus AR(1) avec =1, on appelle aussi DS sans dérive, marché au hasard qui a cette représentation :

(1-L) processus AR(1) avec dérive avec =1, on appelle DS avec dérive, marche aléatoire qui a une représentation équivalente :

Le processus DS de peut être rendre stationnaire EN APPLIQUANT LE FILTRE AU DIFFÉRENCE PREMIÈRE

- Il est important de pouvoir distinguer avant toute tentative de modélisation «ARMA» si le processus générateur d'une série d'observation appartient à la classe TS ou DS. La littérature a sur ce sujet été prolixe ces dernières années suite aux travaux pinières de Dickey(1976) et Fuller(1976). On s'accorde néomoins pour reconnaitre à trois tests particuliers, précisément ceux de Dickey et Fuller(1979,1981), Phillips et Perron(1988) et Kwiatkowski et al(1989), la capacité de donner de bonnes indications quant à la nature du non stationnarité observée.

Le test de Dickey Fuller simple(1979) est un test de racine unitaire (ou de non stationnarité) dont l'hypothèse nulle est la non stationnarité d'un autorégressif d'ordre un.

Considérons un processus ( , t Z) satisfaisant la représentation AR(1) suivante :

Le principe général du test de Dickey Fuller consiste à tester l'hypothèse nulle de la présence d'une racine unitaire.

- Dickey et Fuller ont testé aussi la valeur de ( alors on trouve ces trois modèles :

C'est test est applicable dans le cas d'autocorrélation des erreurs d'ou les articles de Dickey-Fuller(1981) étendent les résultats des tests que l'erreur suit un processus AR(p) et ils sont fondés sur l'estimation par MCO de trois modèles suivant.

Pour les trois modèles, on chercher à tester la racine unitaire sous contre une racine en dehors du cercle unité.

La stratégie de test « ADF » consiste en première étape à déterminer le nombre de retard "p" nécessaire pour blanchir les résidus. Dans la seconde étape, il suffit d'appliquer la stratégie séquentielle du test de Dickey- Fuller simple.

Pour déterminer la valeur de "p", il suffit de minimiser les critères d'information qui sont des critères fondé sur le pouvoir prédictif du modèle considéré et qui tiennent du nombre de paramètre à estimer. Ces critères s'applique de façon générale à tout type de modèle et pas uniquement aux modèles des testes « ADF ».Nous retiendrons ; le critère d'Akaike(1973) et le critère de Schwarz (1978).Pour un modèle, incluant "p" paramètres, estimé sur "T" périodes et dans la réalisation de l'estimateur de la variance des résidus est :

Le test de Phillips et Perron(1988) est construit sur une correction non paramétrique de la statistique de Dickey- Fuller pour prendre en compte des erreurs hétéroscédastique et/ou autocorrelées. Il se déroule en 4 étapes:

- Estimation par MCO des trois modèles de bases des tests de Dickey- Fuller et calcule des statistiques associées, soit le résidu estimé.

- Estimation d'un facteur correctif « »établit à partir de la structure des covariances des résidus des modèles précédemment estimés de telle sorte que les transformations réalisées conduisent à des distributions identiques à celle de Dickey -Fuller standard :

Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, et Shmin(1992) proposent un test fondé sur l'hypothèse nulle de stationnarité.

Après l'estimation de modèles ; on calcule la somme partielle des résidus : et on estime la variance de long terme () comme pour le test de Phillips et Perron. La statistique est alors :

- Si LM : on ne rejette pas l'hypothèse nul et on conclu que la série est stationnaire.

- Si LM: on rejette l'hypothèse nul et on conclu que la série n'est pas stationnaire.

On a si le processus est de type « DS » ; alors on emploie les filtres aux différences pour le stationnariser. Le recours à ces filtres permet de définir les processus ARMA intégrés notés "ARIMA".

- Un processus (t Z) ARIMA (p, d, q) est un processus stationnaire dont la différenciation est d'ordre « d » :

- Un modèle "ARIMA" est étiqueté comme modèle ARIMA (p, d, q) dans le quel :

- L'estimation des modèles "ARIMA" suppose que l'on travaille sur une série stationnaire. Ceci signifie que la moyenne de la série est constante dans le temps, ainsi que la variance. La meilleur méthode pour éliminer toute tendance est de différencier, c'est-à-dire de remplacer la série originale par la série des différences adjacentes. Une série temporelle qui a besoin d'être différenciée pour atteindre la stationnarité est considéré comme une version intégrée d'une série stationnaire (d'où le terme Integrated).

CONCLUSION :

ous choisissons de faire une synthèse à ce chapitre, on parle des tests de racine unitaire car ils sont les bases qui nous permettons de savoir c'est le processus est « TS » ou « DS » afin de recourir à une meilleur méthode de stationnarisation pour suivre enfin l'algorithme de Box-Jenkins qui ne se réalise que si la série étudiée est issue d'un processus stationnaire.

CHAPITRE3 :

Méthode de prévision des séries temporelles :

Lissage exponentiel-Méthodologie de Box Jenkins

n cherche le plus souvent à prévoir une valeur future mais aussi parfois à reconstituer une valeur manquante et toujours à comprendre et expliquer les variations observées.

Les techniques mathématiques d'étude des séries temporelles vont le plus simples comme le lissage exponentiel(qui est une classe de méthode de lissage des séries chronologiques dont l'objectif est la «prévision» qui consiste que chaque observation à l'instant «t» dépend des observations précédentes et d'une variation accidentelle et celle dépendance est plus ou moins stable dans le temps)aux plus élaborée comme l'algorithme de «Box&Jenkins»(qui ont popularisé l'utilisation des modèles «ARMA» en insistant sur les étapes nécessaires à la modélisation d'une série temporelle qui est représenter par quatre étapes qui sont d'abord, l'identification des modèles ensuite, l'estimation des paramètres puis, l'étape de validation des modèles et enfin, l'objectif visé c'est «la prévision».

La prévision d'une série temporelle permet à priori la planification et à posteriori, elle permet d'estimer l'impact d'une perturbation sur la variable expliquée afin de trouver des scénarios pour le future peuvent être réalisés.

Commercerons par représenter le lissage exponentiel qui est un outil pour faire de la prévision des séries sans chercher préalablement un modèle car il permet de faire varier le poids relatif au passé récent et de passé le plus ancien. Il existe trois méthodes de lissage exponentiel qui permet de prolonger une série temporelle en vue de prévision à court terme. Nous présenterons alors le lissage exponentiel simple(LES) quand utilise lorsqu'on n'observe pas de tendance. Mais en générale, les séries étudies contiennent des tendances ce qui nous permettrons de recourir au lissage exponentiel double(LED) qui fait un ajustement par droite et nous attaquerons par la suite le lissage qui donne un poids plus grand pour les observations dans le voisinage de temps qui est le lissage exponentiel généralisé(LEG) mais la mise en oeuvre rigoureuse de ce dernier reste complexe sur le plan pratique, ce qui nous permettrons enfin d'étudier l'approche de Hold & Winters qui ont proposé des modèles voisin beaucoup plus accessibles.

1-1-DÉFINITION :

Soit une série temporelle et nous somme à la période T alors vous volons prédire « » ou « h » est l'horizon de prévision, pour ce faire, on fera intervenir à une méthode qu'on appelle le lissage exponentiel simple. Cette méthode se base sur le fait que plus les observations sont éloignées de la période « T », plus leur influence sur la prévision est faible. On considère que cette influence décroit de façon exponentiel. La formule va comme suit :

Selon cette formule, ne dépend pas de l'horizon de prévision (et donc ). Cette formule tient donc seulement pour les périodes de 1 à T. Elle nous indique également que « » est une moyenne des observations passées ou le poids de cette observation décroit de façon exponentiel avec la distance. Le coefficient (0< <1) se nomme la constante de lissage. L'inclusion de la constante (1- ) fait en sorte que la somme du poids est inférieure par les observations éloignées dans le temps. D'ailleurs, on dit que la prévision est plus rigide à mesure que tend vers 1 dans la mesure où la prévision n'est pas sensible aux fluctuations à cour terme. Plus tend vers 0, plus la prévision est influencée par les observations récentes.

- Pour choisir la constante de lissage, il s'agit de minimiser le critère suivant qui correspond à la somme au carré de l'erreur de prévision :

- Qu'elle ne peut être appliquée à des variations en forme rampe (tendance ou trend), ni à des variations en échelon.

- Qu'il n'ya pas de règle idéale pour déterminer la pondération appropriée, il s'agit de choisir une valeur de la constante de lissage (). La plupart du temps, on procède expérimentalement, en essayant deux ou trois valeur différentes pour voir qu'elle est la plus appropriée.

- Le lissage exponentiel double (Broun1959) est une méthode plus générale que le lissage exponentiel simple, sauf que l'on fait un ajustement au voisinage de « T » non plus par une constante, mais par une droite (a t+ b) ; on a donc :

(h)=(T) +(T) h ; Pour choisir (T) et (T), il faut minimiser cette fonction :

- Parmi les avantages de lissage exponentiel double c'est de traité des séries présentant une tendance.

- La méthode de choix de la constante de lissage est même que pour le lissage exponentiel simple.

- Puisque les méthodes de lissage exponentiel simple et double ajuste une constante ou une droite alors le lissage exponentiel généralisé donne un poids plus grand aux observations dans le voisinage de « T » on a :

Nous avons présenté que par un jeu des coefficients, le lissage exponentiel permet de faire varier le poids relatif du passé récent et de passé plus ancien mais il existe des méthodes de prévision plus évaluées sont disponible avec des progiciels de prévision. Il permet d'utiliser des modèles plus complexes dont certains reposent sur une analyse strictement statistique qui cherche le meilleur ajustement sans apporter d'explication.

La méthode de Holt et Winters permet en effet d'effectuer des prévisions sur des séries chronologiques assez irrégulières et soumises ou non à des variations saisonnières qui sont des variations dues à un effet momentané se reproduisent régulièrement dans le temps suivant non seulement un modèle additif qui est le plus simple dans lequel la variation saisonnière s'ajoute simplement à la tendance dans ce cas la chronique s'écrite :

avec est une série chronologique qui se décompose en une tendance notée ,des variations saisonnières de période « p »(égale ,...., )et d'une composante accidentelle .

Mais aussi avec un modèle multiplicatif qui introduit la composante saisonnière de manière multiplicative dont la série s'écrit comme suit :

Pour tout t=1,..., T = (1+) + avec =1+ ; coefficient saisonniers de modèle multiplicatif

L'approche de Holt et Winters consiste en trois lissages exponentiels simultanés. On définit donc trois paramètre notés. A chaque instant, elle donne une estimation :

On peut choisir les coefficients arbitrairement : faible si l'on considère que la valeur à l'instant « t » dépend d'un grand nombre d'observations antérieures, élever dans le cas contraire. On peut aussi calculer les valeurs optimales en minimisant la somme des carrés des différences entre les valeurs observées et estimées. On procède ensuite aux prévisions, en considérant que la tendance suit un modèle linéaire additif ou multiplicatif à très court terme.

Box et Jenkins(1976) ont promu une méthodologie consistant à modéliser la série temporelle univariées au moyen de processus « ARMA ». Ces processus sont parcimonieux et constituent une bonne approximation de processus plus généraux pourvu que l'on restreigne au cadre linéaire.

Les modèles "ARMA" donne souvent de bon résultats en prévision et ont bénéficié de la vague de scepticisme quand l'intérêt des gros modèles économétriques. La méthodologie de Box-Jenkins peut se décomposer en quatre étapes :

Nous présenterons tout d'abord, l'étape de l'identification ; ensuite nous jetterons la lumière à la phase de l'estimation ; puis nous représenterons des tests de diagnostic dans l'étape de validation ; enfin la dernière étape consiste à utiliser le modèle « ARMA » validé à des fins de prévision.

Après avoir transformé la série étudiée de manière à la stationnariser, ce qui est déjà vu dans le deuxième chapitre ; on arrive à l'étape de l'identification qui est une étape délicate qui conditionne la prévision de la chronique, elle consiste à déterminer les paramètres « p » et « q » du modèle "ARMA" à l'aide de la fonction d'autocorrélation simple et la fonction d'autocorrélation partiel.

L'estimation des paramètres d'un modèle ARMA (p, q) lorsque les ordres «p» et «q» sont supposes connus par la méthode de maximum de vraisemblance qui est réalisée à l'aide d'algorithme d'optimisation non linéaire (Newton-Raphson, méthode de Simplex).

A l'étape de l'identification, les incertitudes liées aux méthodes employées fond que plusieurs modèles, en générale, sont estimés est c'est l'ensemble de ces modèles qui subissent alors l'épreuve des testes. Il en existe de très nombreux permettant d'une part de valider le modèle retenu, d'autre part, de comparer les performances entre les modèles.

Le but de ce test est de vérifier si les composantes « AR » et « MA » de "ARMA" n'ont pas des racines communes au moyen, par exemple, des algorithmes de Newton-Raphson. Lorsque c'est le cas, on dit qu'il ya redondance et les coefficients estimés du modèle sont instables et peuvent conduire à des prévisions erronées. Il faut alors éliminer dans le modèle "ARMA" la ou les variables responsables de cette redondance.

Ce test, nous permet d'effectuer le test de Student sur chacun des paramètres de processus « ARMA » en divisant le paramètre par son écart type. Il peut arriver qu'un ou plusieurs paramètres ne soit pas significativement déférents de « 0 » : le modèle est alors rejeté et on retourne à l'étape d'estimation en éliminant la variable dont le coefficient n'est pas significatif.

On note « » l'autocorrélation d'ordre « k » du processus, pour un ordre « k », le test de Box et Pierce est :

L'hypothèse est rejetée au seuil 5% si est superieur à la quantité 0.95 de la loi ÷²de correspondant.

Ce test est appliqué de préférence au test de Box-Pierce lorsque « T » est faible:

Il s'intéresse à la représentation graphiquement de la fonction d'autocorrelation de la série de carré de résidu . Si ce terme est significativement 0 ; il une héteroscédasticité.

Le test le plus classique de Jarque et Berra est fondé sur la notion de Skewness (asymétrie) et du Kurtosis (aplatissement)

Au-delà des critère standard (MSE, MAE,...) ;on étudie les critères propre aux modèles autorégressifs qui sont par exemple :

Lorsqu'on identifier le processus étudier à un processus «ARMA»; on a appliqué les déférentes transformations, il est nécessaire lors de la phase de prévision de prendre en compte la transformation retenue et de « recolorer la prévision » ; plusieurs cas sont possible :

§ Si le processus contient une tendance déterministe, on extrait cette dernière par régression afin d'obtenir une série stationnaire lors de la phase de l'estimation. Ensuite, lors de phase de prévision, on adjoint aux prévisions réalisées sur la composante ARMA stationnaire, la projection de la tendance.

§ Si la transformation résulte de l'application d'un filtre linéaire (de type par exemple différance première), on réalise la prévision sur la série filtré stationnaire et l'on reconstruit ensuite par inversion de filtre la prévision sur la série initiale.

Appliquons le théorème de Wold au processus et considérons la forme MA () correspondante :

L'intérêt de l'utilisation de la forme MA () est qu'il est possible de calculer facilement l'erreur de prévision comme suit :

Pour évaluer les prévisions ; on peut calculer (REQM, EAM, ERM et coefficient de Theil)

CONCLUSION :

La prévision a pour but d'estimer une observation futur à partir de la connaissance historique, de façon générale, une prévision est une interprétation d'une historique lequel est constituer d'une série d'observations effectuées à dates fixes et classer chronologiquement.

En effet, nous avons utilisé dans ce chapitre deux méthodes de prévisions qui sont le lissage exponentiel et les techniques de Box& Jenkins. Nous avons tenons alors que l'efficacité de la méthode de lissage exponentiel dépend bien étendu de choix de la valeur de coefficient de lissage qui pourra évaluer dans le temps ; il suffit aussi de se rappeler que plus est grand, plus on privilégie les derniers résultats et que l'influence des résultats antérieur décroit exponentiellement avec leur éloignement de la date considérée, d'où le nom de la méthode. En outre, nous avons synthétisé que la méthode de Box-Jenkins(1976) consiste à modéliser les séries temporelles au moyen de processus « ARMA ». Ces processus sont parcimonieux et constituent une bonne approximation de processus plus généraux pourvu que l'on se restreigne au cadre linéaire. Les modèles « ARMA » donnent souvent de bons résultats en prévision et on bénéficier de la vague de scepticisme quant à l'intérêt de grosses méthodes économétriques.

Finalement, ces méthodes supposent que le future rassemblera au passé, or, nous savons bien que dans la conjoncture actuelle les changements sont plus en plus brutaux, les évolutions sont plus en plus rapides. Dans le cadre de prévision à cout terme, il nous utiliser ces méthodes avec précaution. Pour le long terme, les résultats obtenus sont des éventualités qui ne constituent qu'un élément de prise de décision.

Conclusion de la première partie

'analyse des séries chronologiques est un objet fondamentaux de la statistique, qui permet de connaitre les concepts des séries temporelles en définissant toute les caractéristiques de processus «ARMA»; nous insistons alors sur le fait, que quelque soit la méthode utilisée, il faut être vigilant sur les prévision effectuées qui peuvent être dans certains cas totalement aberrantes.

En effet, la prévision par lissage exponentiel dépend plus précisément du choix efficace de la constante de lissage. Ce pendant que

TSpar la méthode d'estimation MCO & DS par la méthode filtre au différence première

En résume enfin que par ces deux méthodes on peut obtenir une comparaison entre les prévisions et que prévoir le comportement futur d'une série chronologique ne nécessite jamais l'utilisation de plusieurs

méthodes de prévisions; car nous ouvrons un question à répondre dans la partie empirique qui nous permet à constater la fiabilité de l'une de ces deux méthodes qui ne dépend pas seulement de sa complexité théorique, mais aussi des données, de l'information disponible et du champs d'application.

Introduction de la deuxième partie

Dans cette partie « Empirique », on choisie d'utiliser le logiciel E-Views6 pour bien appréhender tout ce qu'on avait vu dans la partie « Théorique ».

En effet, Eviews est un logiciel de système d'exploitation Windows dans un des leaders mondiaux de logiciels d'économétrie. Ce logiciel donne une prévision de l'analyse des données scientifique, l'analyse financière, les prévisions des ventes et les prévisions économiques. En outre, les solutions logicielles Eviews matière de recherche et d'enseignement, entreprise, organisme gouvernementaux et les utilisateurs des étudiants à une analyse statistique puissant, de prévision des outils de modélisation.

Pour ces raisons, nous utiliserons le logiciel Eviews afin d'obtenir des résultats précises à propos de modélisation de la série US/Euro Foreign Exchange Rate.

Introduction de la série US/Euro Foreign Exchange Rate

es propriétés de long terme des séries financières de prix de devise intéressent depuis longtemps les financiers et les staticients. Dans ce travail empirique nous réexaminons cette question à propos du taux de change à partir de l'exemple de celui de l'Euro contre le Dollar.

En effet, le taux de change d'une devise (une monnaie) est la cour (autrement dit le prix) de cette devise par rapport à une autre. Dans notre travail le taux de change d'euro en dollar est le nombre de dollar que l'obtient pour un euro. En outre, le taux de change est sans contexte une macro-économique importante. Pour une petite économique ouverte, l'ajustement de taux de change permet de lisser les chocs affectant les termes de l'échange. Dans une économie moins ouvert, il favorise l'ajustement des prix relatifs entre les secteurs des biens échangeables et celui des biens non échangeables. Le taux de change flottant varie alors en permanence et est déterminé par l'offre et la demande de chacune des deux monnaies sur le marché des changes.

L'objectif de notre étude alors de montrer qu'il est possible de retrouver les bases théoriques fondamentale simple permettant d'explique les déterminant à long terme de taux de conversation US/Euro entre 1999 et 2010 afin d'avoir une prévision à terme.

Avant de pouvoir utiliser l'une des méthodes de lissage exponentiel (simple, double, HoltWinters), nous devons tester l'existence d'une éventuelle tendance ou/et d'une saisonnalité dans notre série

Le Fisher calculé (8.530819) est largement supérieur au Fisher tabulé (2.09), dans ce cas on rejette l'hypothèse H0, la série est donc saisonnière.

Notre série est à la fois affectée d'une saisonnalité et d'une tendance, donc la méthode de lissage la plus adéquate est celle de HoltWinters, allons opter pour le modèle de Holt Winters additif.

Date: 06/11/10 Time: 09:41
Sample: 1999M01 2010M03
Included observations: 135
Method: Holt-Winters Additive Seasonal
Original Series: VALUE
Forecast Series: VALUESM


Parameters:	Alpha			1.0000
	Beta			0.0000
	Gamma			0.0000

Sum of Squared Residuals		0.122180
Root Mean Squared Error		0.030084




End of Period Levels:	Mean	1.356132
		Trend		0.002721
			Seasonals:		2009M04	-0.001826
					2009M05	0.003471
					2009M06	0.003077
					2009M07	0.006083
					2009M08	-0.001121
					2009M09	-0.007087
					2009M10	-0.010836
					2009M11	-0.011539
					2009M12	0.005040
					2010M01	0.014847
					2010M02	-0.000975
					2010M03	0.000868

La première étape de l'étude d'une série chronologique est la représentation graphique. Cette visualisation donne des indications très précieuses pour choisir un modèle

Pour illustre cette première phase de modélisation, nous examinons le graphique

L'analyse visuelle du graphe montre à première vue la présence d'une tendance. D'où il y a lieu d'affirmer une présomption du non stationnarité de notre série

Le corrélogramme pressente (VALUE) est calculée a l'aide du logiciel EVIEWS et sur 19 retard

Son examen pressente une décroissance de ses retards (ce qui indique l'existence du facteur tendanciel). Les autocorrelation s'annulent très lentement

Donc la série brute est effectuée de la saisonnalité de la tendance, ce qui veut dire qu'elle est non stationnaire on va confirmer avec le test qui suit :

Test for Equality of Means of VALUE
Categorized by values of VALUE
Date: 06/11/10 Time: 10:57
Sample: 1999M01 2010M03
Included observations: 135


Method		df		Value		Probability


Anova F-test		(3, 131)		568.1851		0.0000
Welch F-test*		(3, 58.8123)		682.6354		0.0000


*Test allows for unequal cell variances

Analysis of Variance


Source of Variation		df		Sum of Sq.		Mean Sq.


Between		3		4.907427		1.635809
Within		131		0.377150		0.002879


Total		134		5.284577		0.039437



Category Statistics


							Std. Err.
VALUE	Count		Mean		Std. Dev.		of Mean
[0.8, 1)	33		0.913230		0.042021		0.007315
[1, 1.2)	31		1.101381		0.063266		0.011363
[1.2, 1.4)	51		1.285882		0.053150		0.007443
[1.4, 1.6)	20		1.479645		0.055876		0.012494
All	135		1.181128		0.198588		0.017092

D'où on rejette H_0. Ce qui veut dire que la série est affectée d'une tendance.

On peut conclure que la série brute value est non stationnaire, puisque les tests d'existence de la saisonnalité et de la tendance sont retenus

Nous présentons dans le tableau suivant les coefficients saisonniers pour chaque mois

Avant de pouvoir appliquer le test de Dickey-Fuller, nous devons déterminer le nombre de retards p qui minimise les critères d'Akaike et Schwartz pour les trois modèles (avec tendance et constante (trend and intercept), avec constante (intercept), sans tendance ni constante (none)).

Les valeurs des critères d'Akaike et Schwartz sont fournies par le logiciel Eviews et sont résumées dans le tableau suivant :

D'après le tableau nous constatons que le critère d'Akaike est minimisé pour les trois modèles pour un nombre de retard p = 1 tandis que le critère de Schwartz est minimisé pour p = 0. En suivant le principe de parcimonie nous retiendrons le nombre de retards qui permet d'estimer le minimum de paramètres c'est-à-dire p = 0. Dans ce cas on utilise le test de Dickey-Fuller simple (DF), donc il n'y a pas d'autocorrélation des erreurs.

Null Hypothesis: VALUESA has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
Lag Length: 0 (Fixed)


						t-Statistic	Prob.*


Augmented Dickey-Fuller test statistic	-2.620864		0.2719
Test critical values:		1% level				-4.027959
		5% level				-3.443704
		10% level				-3.146604


*MacKinnon (1996) one-sided p-values.


Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(VALUESA)
Method: Least Squares
Date: 06/11/10 Time: 12:12
Sample (adjusted): 1999M02 2010M03
Included observations: 134 after adjustments


Variable		Coefficient		Std. Error		t-Statistic	Prob.


VALUESA(-1)		-0.067131		0.025614		-2.620864	0.0098
C		0.057358		0.023058		2.487491	0.0141
@TREND(1999M01)		0.000347		0.000131		2.644404	0.0092


R-squared	0.053536		Mean dependent var		0.001561
Adjusted R-squared	0.039086		S.D. dependent var		0.029396
S.E. of regression	0.028816		Akaike info criterion		-4.233629
Sum squared resid	0.108778		Schwarz criterion		-4.228752
Log likelihood	286.6531		Hannan-Quinn critter.		-4.207265
F-statistic	3.704956		Durbin-Watson stat		1.271757
Prob(F-statistic)		0.027216

D'après ce tableau, on remarque que le coefficient de la tendance est significatif, ce qui indique la présence de la tendance.car la t-Statistique calculée est supérieur à celle tabulée de DICKEY-FULLER (2.62)

Donc ça confirme qu'il y'a une non stationnarité déterministe donc le type de la série VALUESA est TS, et la meilleurs méthode pour la stationnarisée est d'estimer la fonction de la tendance et de la retrancher de la série VALUESA,

Dependent Variable: VALUESA
Method: Least Squares
Date: 06/13/10 Time: 16:04
Sample (adjusted): 2000M01 2010M03
Included observations: 123 after adjustments


Variable		Coefficient		Std. Error		t-Statistic	Prob.


C		-0.012010		0.025537		-0.470286	0.6390
@TREND		0.000628		0.000315		1.996130	0.0482


R-squared	0.031880		Mean dependent var		0.033831
Adjusted R-squared	0.023879		S.D. dependent var		0.125383
S.E. of regression	0.123877		Akaike info criterion		-1.322926
Sum squared resid	1.856812		Schwarz criterion		-1.277199
Log likelihood	83.35993		Hannan-Quinn critter.		-1.304352
F-statistic	3.984533		Durbin-Watson stat		0.133902
Prob(F-statistic)		0.048165

Comme cette série est stationnaire alors on effectue les 4 étapes de la méthodologie de Box & Jenkins :

Cette étape consiste à identifier le modèle susceptible de représenter la série

On va identifier à présent un model valide pour faire notre prévisions, et pour cela on va estimer chaque model, d'après les pics qui sont à l'intérieur de l'intervalle de confiance

L'examen de ce corrélogramme montre deux pics importants pour le terme « AR » dans 1,2,13 et six pics importants pour le terme « MA » dans les retards 1,2,3,4,5,6.

MA (1) AR(1) AR(2) MA(2) MA(3) MA(4) MA(5) MA(6) MA(7) ARMA(1,1) ARMA(1.2) ARMA(1.3) ARMA(1.4) ARMA(1.5)

Pour pouvoir choisir un bon modèle parmi ceux présenté ; on estime chaque modèle et en suite on arrive à l'étape de validation ou applique le test de L-JUNG BOX et les tests de normalité, d'homogénéité.

Dans cet étape on test la signification des coefficients des modèles par un simple test de Student au seuil de 5% (on compare la statistique calculée avec la statistique tabulée (1.96)). Si/ t-stat/>1.96 donc ce modèle sera candidat à être valider.

Dependent Variable: STATIONNAIRE
Method: Least Squares
Date: 06/13/10 Time: 16:18
Sample (adjusted): 2000M02 2010M03
Included observations: 122 after adjustments
Convergence achieved after 2 iterations


Variable		Coefficient		Std. Error		t-Statistic	Prob.


AR(1)		0.927749		0.032615		28.44562	0.0000


R-squared	0.869902		Mean dependent var		0.001160
Adjusted R-squared	0.869902		S.D. dependent var		0.123202
S.E. of regression	0.044438		Akaike info criterion		-3.381294
Sum squared resid	0.238940		Schwarz criterion		-3.358310
Log likelihood	207.2589		Hannan-Quinn critters.		-3.371958
Durbin-Watson stat		1.306086


Inverted AR Roots	.93

On remarque que la t-statistique est supérieur à 1.96 et les racines sont supérieures à 1 donc ce model est retenu, pour cela on va s'assurer avec des tests à l'étape suivante :

On commence par le test le plus utilisé qui est le test de L-Jung box. Ce test est basé sur la comparaison entre la dernière valeur de Q-stat calculée (sur le corrélogramme) et la valeur tabulée de Khi-deux de

Si la statistique de Q-stat<X2 (N-p-q) on accepte l'existante de l'absence d'autocorrelation des résidus, alors les résidus constituent un bruit blanc ce qui nous donne un modèle valide.

Apres avoir effectué ce test on aura le résultat suivant :

On remarque que tous les pics sont à l'intérieur de l'intervalle de confiance c'est à dire ces résidus constituent un bruit blanc, on confirme par le test de L-JUNG BOX, on trouve Q-stat<X2(N-p-q).

Pour savoir si les résidus forment un bruit blanc gaussien on applique le test de Jarques et Berra.

Le Jarque-Berra est une statistique de test pour examiner si la série est normalement distribuée. La statistique mesure la différence du Skewness et du Kurtosis de la série avec ceux de la distribution normale

Heteroskedasticity Test: ARCH


F-statistic	3.024388		Prob. F(1,120)		0.0846
Obs*R-squared	2.999205		Prob. Chi-Square(1)		0.0833



Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 06/13/10 Time: 16:40
Sample: 2000M02 2010M03
Included observations: 122


Variable		Coefficient		Std. Error		t-Statistic	Prob.


C		0.001931		0.000268		7.198444	0.0000
RESID^2(-1)		0.035081		0.020172		1.739077	0.0846


R-squared	0.024584		Mean dependent var		0.001959
Adjusted R-squared	0.016455		S.D. dependent var		0.002982
S.E. of regression	0.002958		Akaike info criterion		-8.792651
Sum squared resid	0.001050		Schwarz criterion		-8.746684
Log likelihood	538.3517		Hannan-Quinn critter.		-8.773981
F-statistic	3.024388		Durbin-Watson stat		1.201956
Prob(F-statistic)		0.084586

D'après les probabilités de signification (0.0846>0.05) et (0.0833>0.05) on déduire l'absence de l'effet ARCH c'est à dire la variance des résidus sont homogènes.

On remarque que tous les pics sont à l'intérieur de l'intervalle de confiance ce qui confirme l'absence de l'effet ARCH.

On peut aussi tester l'effet ARCH d'après le coefficient de Kurtoisis, si Ku>3 il existe l'effet ARCH, dans notre exemple KU=3.32>3.

L'objectif de la méthode de Box & Jenkins est de réaliser des prévisions. Une fois que le modèle AR< M A (p, d, q) a été choisi, estime et valide pour les observations X1, ...., Xt, on calcule les prévisions. On suppose qu'on se trouve à l' instant t, et qu'on désir prévoir la valeur de x t+ h, tel que alors on utilise l'estimateur X^Xt(h) l'espérance conditionnelle de Xt+ h

ANNEXE 1 :
DATE			VALUE
1999-01-01			1,1591
1999-02-01			1,1203
1999-03-01			1,0886
1999-04-01			1,0701
1999-05-01			1,0630
1999-06-01			1,0377
1999-07-01			1,0370
1999-08-01			1,0605
1999-09-01			1,0497
1999-10-01			1,0706
1999-11-01			1,0328
1999-12-01			1,0110
2000-01-01			1,0131
2000-02-01			0,9834
2000-03-01			0,9643
2000-04-01			0,9449
2000-05-01			0,9059
2000-06-01			0,9505
2000-07-01			0,9386
2000-08-01			0,9045
2000-09-01			0,8695
2000-10-01			0,8525
2000-11-01			0,8552
2000-12-01			0,8983
2001-01-01			0,9376
2001-02-01			0,9205
2001-03-01			0,9083
2001-04-01			0,8925
2001-05-01			0,8753
2001-06-01			0,8530
2001-07-01			0,8615
2001-08-01			0,9014
2001-09-01			0,9114
2001-10-01			0,9050
2001-11-01			0,8883
2001-12-01			0,8912
2002-01-01			0,8832
2002-02-01			0,8707
2002-03-01			0,8766
2002-04-01			0,8860
2002-05-01			0,9170
2002-06-01			0,9561
2002-07-01			0,9935
2002-08-01			0,9781
2002-09-01			0,9806
2002-10-01			0,9812
2002-11-01			1,0013
2002-12-01			1,0194
2003-01-01			1,0622
2003-02-01			1,0785
2003-03-01			1,0797
2003-04-01			1,0862
2003-05-01			1,1556
2003-06-01			1,1674
2003-07-01			1,1365
2003-08-01			1,1155
2003-09-01			1,1267
2003-10-01			1,1714
2003-11-01			1,1710
2003-12-01			1,2298
2004-01-01			1,2638
2004-02-01			1,2640
2004-03-01			1,2261
2004-04-01			1,1989
2004-05-01			1,2000
2004-06-01			1,2146
2004-07-01			1,2266
2004-08-01			1,2191
2004-09-01			1,2224
2004-10-01			1,2507
2004-11-01			1,2997
2004-12-01			1,3406
2005-01-01			1,3123
2005-02-01			1,3013
2005-03-01			1,3185
2005-04-01			1,2943
2005-05-01			1,2697
2005-06-01			1,2155
2005-07-01			1,2041
2005-08-01			1,2295
2005-09-01			1,2234
2005-10-01			1,2022
2005-11-01			1,1789
2005-12-01			1,1861
2006-01-01			1,2126
2006-02-01			1,1940
2006-03-01			1,2028
2006-04-01			1,2273
2006-05-01			1,2767
2006-06-01			1,2661
2006-07-01			1,2681
2006-08-01			1,2810
2006-09-01			1,2722
2006-10-01			1,2617
2006-11-01			1,2888
2006-12-01			1,3205
2007-01-01			1,2993
2007-02-01			1,3080
2007-03-01			1,3246
2007-04-01			1,3513
2007-05-01			1,3518
2007-06-01			1,3421
2007-07-01			1,3726
2007-08-01			1,3626
2007-09-01			1,3910
2007-10-01			1,4233
2007-11-01			1,4683
2007-12-01			1,4559
2008-01-01			1,4728
2008-02-01			1,4759
2008-03-01			1,5520
2008-04-01			1,5754
2008-05-01			1,5554
2008-06-01			1,5562
2008-07-01			1,5759
2008-08-01			1,4955
2008-09-01			1,4342
2008-10-01			1,3266
2008-11-01			1,2744
2008-12-01			1,3511
2009-01-01			1,3244
2009-02-01			1,2797
2009-03-01			1,3050
2009-04-01			1,3199
2009-05-01			1,3646
2009-06-01			1,4014
2009-07-01			1,4092
2009-08-01			1,4266
2009-09-01			1,4575
2009-10-01			1,4821
2009-11-01			1,4908
2009-12-01			1,4579
2010-01-01			1,4266
2010-02-01			1,3680
2010-03-01			1,3570

Dependent Variable: STATIONNAIRE
Method: Least Squares
Date: 06/13/10 Time: 17:28
Sample (adjusted): 2000M02 2010M03
Included observations: 122 after adjustments
Convergence achieved after 2 iterations


Variable		Coefficient		Std. Error		t-Statistic	Prob.


AR(1)		0.927749		0.032615		28.44562	0.0000


R-squared	0.869902		Mean dependent var		0.001160
Adjusted R-squared	0.869902		S.D. dependent var		0.123202
S.E. of regression	0.044438		Akaike info criterion		-3.381294
Sum squared resid	0.238940		Schwarz criterion		-3.358310
Log likelihood	207.2589		Hannan-Quinn criter.		-3.371958
Durbin-Watson stat		1.306086

Dependent Variable: STATIONNAIRE
Method: Least Squares
Date: 06/13/10 Time: 16:12
Sample (adjusted): 2000M02 2010M03
Included observations: 122 after adjustments
Convergence achieved after 2 iterations


Variable		Coefficient		Std. Error		t-Statistic	Prob.


AR(1)		0.927749		0.032615		28.44562	0.0000


R-squared	0.869902		Mean dependent var		0.001160
Adjusted R-squared	0.869902		S.D. dependent var		0.123202
S.E. of regression	0.044438		Akaike info criterion		-3.381294
Sum squared resid	0.238940		Schwarz criterion		-3.358310
Log likelihood	207.2589		Hannan-Quinn criter.		-3.371958
Durbin-Watson stat		1.306086


Inverted AR Roots	.93

Dependent Variable: VALUESA
Method: Least Squares
Date: 06/13/10 Time: 16:04
Sample (adjusted): 2000M01 2010M03
Included observations: 123 after adjustments


Variable		Coefficient		Std. Error		t-Statistic	Prob.


C		-0.012010		0.025537		-0.470286	0.6390
@TREND		0.000628		0.000315		1.996130	0.0482


R-squared	0.031880		Mean dependent var		0.033831
Adjusted R-squared	0.023879		S.D. dependent var		0.125383
S.E. of regression	0.123877		Akaike info criterion		-1.322926
Sum squared resid	1.856812		Schwarz criterion		-1.277199
Log likelihood	83.35993		Hannan-Quinn criter.		-1.304352
F-statistic	3.984533		Durbin-Watson stat		0.133902
Prob(F-statistic)		0.048165

Analyse et prévision des séries temporelles et financière

Introduction générale

L

Introduction de la première partie

CHAPITRE1 :

Les processus aléatoires stationnaires et les processus "ARMA"

Introduction :

2 -1-Définition d'un processus stationnaire au sens strict

"La stationnarité forte"

- Soit un processus temporel aléatoire (, tZ) : le processus est dit strictement ou fortement stationnaire le n-uple temps T et pour tout temps hT avec Z, i, avec i=1,..., n ; la suite () a la même loi de probabilité que la suite ( ).

Une façon équivalente de définir la stationnarité forte :

- Un processus est dit stationnaire au sens strict si pour toute valeurs ()

- La distribution jointe de la suite (dépend uniquement des intervalles de temps () est indépendante de la période t.

2 - 2-Définition d'un processus stationnaire d'ordre deux

"La stationnarité faible"

Dans la pratique, on se limite généralement à requérir la stationnarité de second ordre si trois conditions suivantes sont satisfaites :

· t Z, E ()=m, indépendant de temps t

· t Z, V ()

· (t, h) Z², cov (,)=E; indépendant de temps Pour

- En résumé, un processus est stationnarité au second ordre si l'ensemble de ses moments sont indépendants du temps.

2-3-Caractéristique d'une série temporelle

Ø Moyenne et Variance :

E ()=

V ()=

Ø La fonction d'autocovariance :

La fonction d'autocovariance d'un processus est donnée par :

= cov (,) = E

Elle mesure la covariance entre deux valeurs de séparait par un certain délai h( retard), elle fournit des informations sur la variabilité de la série et sur les liaisons temporelles qui existe entre les différentes composantes de la série.

- La fonction d'autocovariance d'un processus stationnaire «» vérifiés les propriétés suivantes :

= cov (=var (

-==

=:fonction symétrique

Ø La fonction d'autocorrélation(FAC)

La fonction d'autocorrélation d'un processus stationnaire « »est donnée par :

=

Remarque :

Le graphique de la fonction d'autocorrélation est appelé correlogramme, les sont calculer pour h=0, 1 , ... , k ; avec k : le décalage maximum admissible.

La fonction d'un processus stationnaire « » vérifier les propriétés suivantes :

=1

=:fonction paire

v Test d'hypothèse et intervalle de confiance :

La variance des autocorrélations est donnée par :

Var ( ) =

= (1+2)

- Pour T grand :

=

- Pour tester la significativité statistique de terme d'autocorrélation :

v Règle de décision :

- Si On ne rejette pas Le coéfficient n'est statistiquement significative.

- Si:On rejette Le coefficient est statistiquement significative

v Intervalle de confiance :

()=

Ø La fonction d'autocorrélation partielle (FAP) :

Cette fonction d'autocorrélation partielle mesure la corrélation et ; l'influence des autres variables décalés de H période (, ) ayant été retirée.

La fonction d'autocorrélation partielle de « » est donnée par :

Le calcule se complexe si on augmente la valeur de h, on utilise donc l'algorithme de l'expression utilisée par Durbin(1960)

v Test d'hypothèse :

La statistique suivante ;

= N (0, 1) ; est utilisée pour tester la significativité de coefficient

ü : =0

ü : 0

- Si ; on ne rejette pas, le coefficient n'est pas statistiquement significative.

- Si ; on rejette , le coefficient est statistiquement significative

v Intervalle de confiance :

Au niveau de confiance (1-) l'intervalle de confiance est donnée par :

()=

Remarque : A la différance de l'intervalle de confiance ; cet intervalle est constant.

2- 4-Le Processus bruit blanc

Un processus bruit blanc est un processus stationnaire à accroissement indépendante. On parle aussi de processus i.i.d (variable indépendante et identique distribuée)

-Un processus est un bruit blanc (,t Z ) ,il satisfait les deux conditions suivantes :

tZ ;

· E ()=0

· =E () =

En outre, on parle de bruit blanc gaussien lorsque la loi de probabilité du processus est elle-même gaussienne. iid N (m, )

Le théorème de Wold(1938) est le théorème fondamentale de l'analyse des séries temporelles stationnaire, nous commenceront par donner l'énoncer de ce théorème, nous définirons l'opérateur retard.

L'énoncé du théorème de Wold est le suivant:

=+

Ou :: Est une composante déterministe

: Est une composante stochastique (aléatoire)

On note quesont deux processus orthogonaux (indépendant) et avec =; avec

- Soit un processus temporel aléatoire (, tZ) : le processus
est dit strictement ou fortement stationnaire le n-uple temps
T et pour tout temps hT avec
Z, i, avec i=1,..., n ; la suite () a la même loi de probabilité que la suite ( ).