étude du comportement de la flèche d’un matériau composite en vibration et simulation sous Matlab.

2.3.2. Approche par la méthode de Rayleigh

La résolution de l'équation (2.93) est très complexe pour des plaques dont les quatre côtés ne sont pas en appuis simples. L'approche vibrationnelle développée dans ce contexte par Rayleigh [11] permet de déterminer les fréquences propres avec une marge de 1% des valeurs réelles pour des plaques n'ayant pas de côtés libres et absence du chargement en membrane. Cette méthode considère que le système étudié est conservatif ^4.

2.3.3. Energie de déformation

L'énergie totale de déformation est exprimée par :

_U?

_{2 2 2}

? _{2 2 2 2 2}

₁ ? ? ? ? ?

_{a b w w w} ? ? ? ? ? ? ?

_{w w}

? _{0 0 0 0 0}

_{2 4}

? ? ₁₁ ? ₂ ? ? _{12 2 2 22 2 66 2}

_{D D} ? ? ? ? ? ? ?

_{D D dxdy}

(2.127)

En décomposant sur les axes de référence, nous obtenons :

(2.128)

En tenant compte des hypothèses de la théorie des stratifiées (azz = O,E_yz = E_zz = 0) et du fait

que le matériau est un stratifié orthotrope dont les axes coïncident avec les axes de références (D16 = D26 = ⁰) sollicité en flexion pure (6_z, = 0) , l'énergie de déformation a pour expression :

2 _x ? _{0 y} ? 0 ? ? ?

? ? _x ? _x ? y ? ? ? ? ?

? _y ? y ?

d

^(2.129) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dxdydz ? t t t 2 2 2 1 u v w E C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? s 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2.3.3.1. Energie cinétique

L'énergie cinétique totale d'un solide s'écrit :

(2.130)

₁

32

En tenant compte des considérations d'études du §1.3, il vient :

2 _a fb 2

ECMax = 2 Psi _Jx=0 Jy=0 w0dxdy (2.131)

2.3.3.2. Formulation du théorème d'énergie en théorie des stratifiées

En l'absence de charge transverse q, la fonction énergie maximum pour un stratifié orthotrope est donnée par :

_{2 2 2}

? _{2 2 2 2 2}

? ? ? ?

_{1 a b w} ? ? ? ? ?

_{w w w} ? ? ?

_w

_{0 0 0 0 0 2 2}

_U ? _E ? ? _D ? ? ? ? ? ? ? _w ? _dxdy

₁₁ ? ? ? _{2 D D 4 D}

_{dMax CMax 2 12 2 2 22 2 66 2 s 0}

2 ? ? ? ?

_x ? _{0 y} ? 0 ? ? ?

? ? _x ? _x ? y ? ?

? y ? ?

? y ? ?

(2.132)

⁴ Système conservatif : Energie potentielle maximale = Energie cinétique maximale.

Chapitre 2 : Formulation théorique de l'équation de comportement de la flèche en vibration de flexion d'un composite

La fonction d'énergie est obtenue en posant :

Avec : (2.133)
La résolution de ce système [3J, donne l'expression de la fréquence angulaire :

Donc : _{w x y t} ? ?? _Q ? _t ? _{x y}

₀₍ , , ) ( mn cos mn ) mn ( ,

	(2.134)