Les expressions de D11 sont données dans (1.35)
et (1.37) en fonction du type de structure. 2.3. Expressions explicites de la
flèche d'une plaque stratifiée orthotrope
L'équation qui décrit les déplacements dus
aux vibrations de flexion dans la plaque est :
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(2.93)
(2.94)
(2.95)
(2.96)
(2.97)
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La solution recherchée est de la forme :
Posons
: ; ;
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1
Y
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4
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2.3.1. Cas d'une plaque orthotrope en appuis simples
(AAAA)
Considérons une plaque en appuis simples
configurée comme le montre la figure ci-dessous :
Figure 2.12 : Plaque
rectangulaire en appuis simples sur ses 4 côtés (AAAA)
Résolvons (2.97a) : Posons Xm (x) =
sin m? x (2.98)
a
ax 4 a a
a2 mn 2 mn
D'où : 2 = sin x ,
ax a a
|
4 4
a X_ mr sin
m r x (2.99)
|
|
(m?
4 2? 2 2 1
a2Y??2 ?4Y 1??4 2.100
a) Cam2r )
Yax2????y4.Y (2.100)
Chapitre 2 : Formulation théorique de
l'équation de comportement de la flèche en vibration de flexion
d'un composite
~Y4 -2~2I a I axe +I I
I -"JY=O (2.101)
l J zLl J
Posons à nouveau : ~z (2.102)
4 12 2 4
Il vient : (2.103)
a ôx a J
[?B2 +B4 = B2
=B4 =O (2.109)
Les solutions de (2.103) sont de la
forme :
(2.104)
Après résolution de (2.104), il vient :
a1 = û1 ; ; ; (2.105)
2 4 2 4
Avec : û1 = k2 m~ + m~ + 4
; 02 - k2 m7r - 7717r + iî 4
(2.106)
a a a a
Donc : (2.107)
Ou (2.108)
B1, B2,
B3, B4 =
ctes à déterminer avec des conditions aux
limites.
? X(a)?0
lO
(_B1sinO2b_B2cosO2
b)+O12(B3 sinh
O1 b+B4 cosh
O1b)
· Conditions aux limites :
En : ?X(0)=0 =
-02B2+01B4=0
jX"(0) = 0
En : 1X"(a)?0
?? B1
sinO2b+B1
cosO2b+B3
sinhO1b+B1
coshO1b =
0
=0
(2.110)
30
(2.109) et (2.110) sous forme matricielle, donne :
|
?0 1 0 1 ? ? B1? ?0?
? ? ? ? ? ?
?0 ? 0 B2 0
? sin ? cos
2 b ? sinh
2 b ?1 b cosh ?
0
1 b B
? ? ? ? ?
3
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
2 2 2 2
? ? cos a ? cos inh cosh
2 2 2 b 1 1 b
?
1 1 b ? ?B4 ? 0?
|
(2.111)
|
Pour [BIT 0, nous avons : (2.112)
Il vient : (û, +û2)2
sinhû1b sin 02b = 0 (16) ;
(1.113)
? En tenant compte de (2.106), nous avons : 62n =
k2 m~ - m~ + ~;, =(fur
(2.114)
· Fréquence angulaire :
2 4 2
a a b
2 212
2
D'où : ~4 k2(mir (rur
-(rmi - cons; (2.115)
a b J a 82
Chapitre 2 : Formulation théorique de
l'équation de comportement de la flèche en vibration de flexion
d'un composite
En développant (2.115), puis en posant , il vient :
(2.116)
? Déformée modale :
En tenant compte de (2.109), (2.110) et (2.108), il vient :
a b
Y(y) = Bn Sin b y (2.117)
En posant : , la déformée modale
(2.118)
a b
Les relations (2.98), (2.117) et (2.118) permettent
d'écrire (2.94) :
Qmn= 64 q0 z .
Il vient :
D'où :
Or :Jsin(2m sin(2k-Ondxfsin(2n-Onsin(21-1)ndy=~;m=w;
(2.119)
mnab~ (2m
-1)(2n -1)D2m-1,2n-1
0 ax
Par un raisonnement analogue à celui des poutres, nous
avons : , et
1
Jsin2(2m-1)~xdxf
sin2(2n-1)~ydy
0
?
?
(2.120)
? ?
16 q 1
0
w x y ?
0 ( , ) ? 2 ??
mn (2 m ? 1)(2 n
? 1) D
x
sin 2 1
? ? ?
m? ? sin
2n?1
?y ? a b
Avec :
?
?
?
(2.121)
4 2 2 2 4 4
2 ?1 R
m ? 1 n ? 1 2 m
? 1,2 n ? 1
D ? D m
? ? ?
2 ?1 ?2 D ?2D ?? ? ? ?
2m?1 2n?1 R ?D ?
n ?
2m?1,2n?1 11 12 66 22
16 q0 1
Donc, pour une plaque en appuis simples, nous avons :
w0(x,y,t)
= EE(Qmn cos
Wmnt)bmn(x,y)(2.122)
m n
Avec : Q =
mn mnr2 (2m
-1)(2n -1)D2m-1,2n-1
; (2.123)
Y'
31
/x, Y) = sin mIr
xsin b sin xsinB
(2.124)
mn\ a m
znY
D2m-1,2n-1
=D11(2m-1)4+2(D12+2D66)(2m-1)2(2n-1)2R2+D22(2n-1)4R4(2.125)
2
TC r
Et : O)mn = 2 1 Lm4D11 +
2m2n2R2 (D12 +
2D66 )
a Ps
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+ n2R4D22 ] (2.126)
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Donc, la plaque vibre comme un assemblage complet de n
poutres en appuis simples suivant y et de m poutres en
appuis simples suivant x.
Chapitre 2 : Formulation théorique de
l'équation de comportement de la flèche en vibration de flexion
d'un composite
Pour les autres conditions aux limites, les fonctions
X(x) et Y(y) seront choisie comme dans le cas d'une poutre en
fonction des conditions aux limites. La méthode Rayleigh- Ritz permettra
d'expliciter le déplacement transverse et par l'approximation de
Rayleigh nous ressortirons l'expression de la fréquence propre pour un
mode ????.
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