V.1.4 Propriétés des estimateurs
On a démontré précédemment qu'on
pouvait estimer les paramètres du modèle définie par :
b = (X'X)-1X'Y.
Or, nous savons que le modèle théorique se
présente sous la forme : Y = XII + E.
On obtient donc : b =
(X'X)-1X'(XII + E) =
(X'X)-1X'XII +
(X'X)-1X'E = II +
(X'X)-1X'E.
L'espérance mathématique de b
est donc la suivante : E(b) = E(II +
(X'X)-1X'e) = II +
(X'X)-1X'E(e) par linéarité
de l'espérance mathématique 64 . Or,
l'hypothèse fondamentale de la nullité de l'espérance de
l'erreur est la suivante : E(e) = O. On peut donc
64 MIGNON V. « Econométrie : Théorie et
application ». Chapitre 3. P 98-100. Consulté le 19
février 2019.
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en déduire que : E(b) = j? et par conséquent,
les estimateurs sont bien sans biais. On dira que l'estimateur est d'autant
plus juste que le nombre d'observations est grand65.
De plus, d'après le théorème de
Gauss-Markov, l'estimateur des moindres carrés est un excellent
estimateur linéaire sans biais. On dira même que cet estimateur
est Best Linear Unbiaised Estimator (BLUE). Cela signifie qu'il fournit les
variances les plus faibles parmi l'ensemble des estimateurs. On peut donc dire
que cet estimateur est efficace et convergent66.
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