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V- Etude économétrique du sujet
Nous allons tout d'abord, présenter le modèle
de régression multiple d'un point de vue théorique. Ensuite, nous
réaliserons différents modèles dans le cadre de cette
étude.
V.1 Modèle théorique RLM
V.1.1 Modèle de régression multiple
Le modèle de Régression Linéaire
Multiple (RLM) se définit avec 12 variables
explicatives :
???? = ?? + ? j =???? ?????????? + ???? pour i =
1,...,76
Avec :
· ???? : La variable à expliquer
· ??????, ... , ???????? : Les variables exogènes
1,...,12
· ?? : ????, ... , ?????? : Les paramètres du
modèle
· ???? : L'erreur de spécification pour chaque
année
· 76 : Le nombre de période de
référence
On peut le réécrire sous forme matricielle :
??= ???? + ??
Avec :
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Y1
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1
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X21
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X31 ...
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X121
|
|
á
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E1
|
|
Y2
|
|
1
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X22
|
X32 ...
|
X122
|
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02
|
|
|
E2
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Y =
|
Y3
|
; X =
|
1
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X23
|
X33 ...
|
X123
|
; 0 _
|
03
|
;
|
E_
|
E3
|
|
...
|
|
...
|
...
|
... ...
|
...
|
|
...
|
|
|
...
|
|
Y76
|
|
1
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X276
|
X376 ...
|
X12,76
|
|
B12
|
|
|
E76
|
|
44
V.1.2 Hypothèses du modèle
Il y a plusieurs hypothèses qui doivent être
vérifiées dans le cadre d'un modèle de régression
multiple. Les hypothèses à vérifier sont les suivantes
:
· L'hypothèse fondamentale : E(ei) =
0 pour i = 1,..., co .
L'espérance mathématique de l'erreur est nulle et les erreurs se
compensent sur la totalité de l'échantillon.
· L'hypothèse d'homoscédasticité :
Var(ei) = Qi 2 pour i = 1,...,
co. La variance de l'erreur est constante. On peut donc dire (du
fait de la nullité de son espérance) que :
E(ei2) = Qi2.
· L'hypothèse de non-corrélation du terme
d'erreur : E(eie1) = 0 pour
i*j. Les erreurs sont indépendantes d'un
élément à l'autre de l'échantillon.
· L'hypothèse de non-corrélation entre les
variables exogènes et le terme d'erreur : les erreurs sont
indépendantes des 12 variables explicatives.
· L'hypothèse de non-colinéarité
des variables explicatives : si deux variables exogènes sont
parfaitement colinéaires alors on dira que la matrice carrée
X'X n'est plus inversible et donc la méthode
des Moindres Carrés Ordinaires (MCO) n'est plus valide.
· L'hypothèse de normalité des erreurs :
le terme d'erreur (e) suit une loi normale
N(0, Qi2 )63.
V.1.3 Estimation des paramètres du modèle
Il est important de rappeler que pour estimer le vecteur
II par un vecteur b composé
des estimateurs respectifs a, b1,.., b12 des
paramètres a, II 1, ... , II12, la
méthode des MCO sera appliquée. Pour cela, nous allons minimiser
les carrés des erreurs par rapport à
II. Nous allons donc résoudre le programme
suivant :
76
|
Min Iei2
i=1
|
= Min e'e = Min (Y - XII)'(Y -
XII) = Min(Y'Y - 2II'X'XII)
|
Ainsi, en différenciant cette quantité par rapport
à la valeur de f.?, on obtient donc :
dII(e'e) = -2X'Y +
2X'XII
63 MIGNON V. « Econométrie : Théorie et
application ». Chapitre 3. P 93-95. Consulté le 19
février 2019.
45
On suppose que les conditions de second ordre sont
vérifiées. Pour cela, on admet que la matrice X'X est
définie positive. La dérivée calculée ci-dessus
s'annule bien en un point de minimum. Ce point est atteint pour
-2X'Y + 2X'Xb = O, soit en
b = (X'X)-1X'Y.
Soulignons, que ce minimum ne peut être atteint que dans
l'hypothèse où la matrice X'X (matrice
carrée d'ordre 12) est inversible. Pour que cette
matrice soit inversible, deux variables explicatives ne doivent pas être
parfaitement corrélées. En effet, X'X est la
matrice des produits croisés des variables exogènes. De plus,
s'il y a une colinéarité parfaite entre deux variables alors
X'X ne sera plus invisible et par conséquent, la
méthode MCO ne fonctionne plus.
Lorsque le vecteur b est obtenu, le
modèle estimé s'écrit sous la forme :
12
+ ei
Yi= a+ LbjXji
j=1
Avec : ei résidu à la
date i qui représente l'écart entre la valeur
observée de la variable endogène et sa valeur estimée par
le modèle.
| 
