Application des méthodes de l'analyse de données sur l'évolution du parc automobile algérien

Analyse factorielle des correspondances

I. Définition :

L'analyse Factorielle des Correspondances ou AFC constitue une technique d'analyse

statistique d'un ou de plusieurs tableaux de contingences permettant une représentation graphique des attractions et des distances entre les modalités des variables choisies.

L'analyse factorielle des correspondances (AFC) peut être considérée comme une extension de l'analyse en composantes principales (ACP). Elle est adaptée au traitement de données qualitatives sans restrictions fortes, son but répond à tout essai d'analyse d'un tableau formé par des observations qualitatives sur des individus ou des catégories.

L'analyse des correspondances va effectuer l'analyse générale d'un nuage de points pondérés

dans un espace muni de la métrique . Donc on se référera donc à l'analyse générale avec des métriques et des critères quelconques.

II. Eléments de base de l'analyse

- Tableau de données, distances, géométrie des nuages

A. Tableau de contingence :

Le tableau de contingence (ou tableau croisé) est obtenu en ventilant une population selon deux variables nominales. L'ensemble des colonnes du tableau désigne les modalités d'une variable et l'ensemble des lignes correspond à celles de l'autre variable. De ce fait, les lignes et les colonnes, qui désignent deux partitions d'une population, jouent des rôles symétriques et sont traitées de façon analogue.

Considérons le tableau de contingence K à n lignes et p colonnes.

A l'intersection d'une ligne et d'une colonne, nous avons le nombre d'individus ayant

simultanément la modalité i de la variable ligne et la modalité j de la variable colonne.

kj .

_ki.

Le total est le nombre d'individus ayant la modalité i de la variable ligne.

Le total est le nombre d'individus ayant la modalité j de la variable colonne.
On a les relations suivantes :

Chapitre Iii Analyse des correspondances

Qui, en termes de fréquences relatives, donnent lieu aux relations :

Transformation du tableau de contingence :

Pour analyser un tableau de contingence, ce n'est pas le tableau d'effectifs bruts qui nous intéresse mais les tableaux des profils-lignes et celui des profils-colonnes c'est-à-dire les répartitions en pourcentages à l'intérieur d'une ligne ou d'une colonne.

Contrairement à l'analyse en composantes principales, le tableau de données subit deux transformations, l'une en profils-lignes, l'autre en profils-colonnes, à partir desquelles vont

^j

^kij

ⁱ

être construits les nuages des points dans et dans

^ki.

^{Tableau de contingence K}

^k

^k.j

^{Fréquences relatives F}

^j

^fi.

^{Profils-colonnes}

^fi.

ⁱ

^fij

^f.j

ⁱ

^j

^{Profils-lignes}

^j

ⁱ

¹

^fij

^fi.

^fij ^f.j

^1

^1

^1

*

*

*

*

*

* *

R n

*

^dans R p

^{nuage des p points}

^dans R n

·

·
·

·

·

·

·

·

^{nuage des n points}

·
·

·

·

·

·

R p

·

·

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Transformation du tableau de contingence

Chapitre Iii Analyse des correspondances

Les transformations opérées sur le tableau des données peuvent s'écrire à partir des trois

matrices F, et qui définissent les éléments de base de l'analyse. F d'ordre (n,p) désigne

le tableau des fréquences relatives ; d'ordre (n,n) est la matrice diagonale dont les

éléments diagonaux sont les marges en lignes ; est la matrice diagonale d'ordre (p,p)
des marges en colonnes .

^Fréquences

^{relatives F}

^{f.j 0}

⁰

ⁱ

^j

^fij

^{Marges-lignes} D n

^{Profils-lignes D F}

^-1

ⁿ

^{fi. 0}

{ }(j)

^fij

^fi.

⁰

^p

^{Profils-colonnes D F} '

^-1

^p

{ }(i)

^{Marges-colonnes Dp}

^f.j

ⁿ

Fréquences, marges, profils

^fij