Phénomènes induits par le bruit dans les systèmes dynamiques décrits par des équations différentielles.

1.4 Exemple

Dans cette section, on donne trois exemples de résolution d'EDS. Exemple 1

Soit l'EDS suivante :

dXt = -Xtdt + exp^-t dBt, X0 = x

Les conditions du théorème d'existence et d'unicité sont vérifiées, on cherche alors l'unique solution de cette EDS.

On a

exp^t dXt = - exp^t Xtdt + dBt

ou encore

exp^t dXt + exp^t Xtdt = dBt

D'un autre côté, la formule d'intégration par parties assure que :

d(exp^t Xt) = exp^t dXt + Xt exp^t dt

Ce qui donne :

d(exp^t Xt) = dBt

et donc, la solution s'écrit :

Xt = x + exp^-t Bt.

Exemple 2 : Equation d'Ornstein Uhlenbeck On cherche à résoudre l'EDS suivante :

dXt = uXtdt + ódBt X0 = x.

où u et u sont deux réels.

Le théorème d'existence et d'unicité assure qu'il existe une unique solution. On multiplie les deux côtés de cette équation par exp^-u^t, on obtient :

exp^-ut dXt = uXt exp^-ut dt + u exp^-ut dBt.

ou encore

exp^-ut dXt - uXt exp^-ut dt = u exp^-ut dBt.

D'un autre côté, la formule d'intégration par parties donne :

d(Xt exp^-ut) = exp^-ut dXt - uXt exp^-ut dt En remplaçant dans l'équation précédente, on trouve :

d(Xt exp^-ut) = u exp^-ut dBt,

d'où, la solution

t

Xt = x + u exput / exp^-us dB_s.

0

Exemple 3(Modèle de Black et Scholes)

Le modèle de black et Scholes est, à l'origine, un modèle à deux actifs : l'un risqué et l'autre pas. Dans cet exemple, on traite le cas de l'actif risqué, à savoir le prix d'une action à l'instant t. Il vérifie l'équation différentielle stochastique suivante :

dSt = St(udt + udBt), S0 = x.

La solution est

2

St = x exp⁽ uBt - 2 t) exp^ut .

En effet, il suffit d'écrire u(t, x) = ux et b(t, x) = bx pour voir qu'elles vérifient les conditions du théorème (1.3.1). On applique ensuite la formule d'Itô à

2

f(t, x) = x exp⁽ ux - 2 t) exput

1.5 Théorème de Yamada-Watanabe 23

on aura

St = f(t, Bt) (1.17)

2_f

= f(0, 0) + Jot at (s, B_s)ds + J t af (s, B_s)dB_s + J t a (_s) B_s)4 .18)

J_ó

t 2_ft ft= )S_sds + óJ S3dBs + _J S_sds. (1.19)

2 o 2 0

d'où

dSt = St(udt + ódBt), S0 = x.

1.5 Théorème de Yamada-Watanabe

Les conditions du théorème d'existence et d'unicité ne sont pas optimales.Toshio YAMADA et Shinzo WATANABE ont montré qu'on peut les affaiblir dans le théorème suivant :

Théorème 1.5.1. Soit d = m = 1 Supposons que b et ó sont à croissance linéaire, que b vérifie la condition de Lipschitz locale et |ó(t, x) - ó(t, y)|² = ñ|x - y| pour tout t = 0, où ñ est une fonction borélienne de ]0, 8[ dans lui mème telle que

1

dz = E> 0

L_<€ñ²(z)⁺⁸

Alors E_x(b, ó) admet une unique solution forte.

En effet, les conditions du théorème de Yamada et Watanabe sont plus faible que la condition de Lipschitz. Si ó est lipschitzienne, alors on a pour tous x et y réels, si

|ó(x) - ó(y)| = c|x - y|.

alors

|ó(x) - ó(y)|² = c²|x - y|².

Il suffit alors de prendre ñ(x) = x². On a bien

dz= +8 E > 0

L|<6

ñ2(z)dz

1.6 Difusions d'Itô 24

.

Exemples

Soit a E R. On considère l'EDS

/

dXt = aXtdt + XtdBt, X0 = 0.

f(x) = -Jx n'est pas lipschitzienne mais elle vérifie la condition du théorème de Yamada et Watanabe. La solution unique de cette équation est appelée processus de Feller.