1.2 Exemples
1.2 Exemples 14
Quelques exemples pour illustrer ceci sont donnés suivis
d'un théorème qui assure, sous certaines conditions sur b et
ó, l'existence d'une unique solution forte.
Unicité faible mais pas trajectorielle
Soit â un mouvement brownien standard On pose
Z t
Wt = sgn(âs)dâs.
0
On a alors:
Z t
ât = sgn(âs)dWs
0
En effet:
|
Z0
|
Z t
t
sgn(âs)dWs =
sgn2(âs)dâs (1.1)
0
|
Z t
= dâs (1.2)
0
= ât (1.3)
W est une martingale issue de 0 telle que < W, W >t= t
ainsi, par la caractérisation de levy, W est aussi un mouvement
brownien. On voit alors que â est solution de
l'EDS
dXt = sgn(Xt)dWt, X0 = 0
On a l'unicité faible. Par la caractérisation
levey, toute solution doit être un mouve-
ment brownien.
Par contre, on n'a pas d'unicité trajectorielle pour cette
équation. En effet,â et -â
sont toutes les deux des solutions correspondant au méme
mouvment brownien. Aussi, â n'est pas solution forte : par la formule de
Tanaka , la filtration canonique de ù coincide avec la filtration
canonique de |â| qui est strictement plus petite que
celle de â. En effet, l'événement {ât
< 0} appartient a Fâ mais pas à F|â|
1.3 Théonème d'existence et
d'unicité 15
1.3 Théonème d'existence et
d'unicité
Théorème 1.3.1. (Existence et
unicité)
On suppose qu'il existe une constante K positive telle que
pour tout t > 0, x, y E Rd
1. Condition de Lipschitz
|b(t, x) - b(t, y)| + |ó(t, x) - ó(t, x)| <
K|x - y|
2. Croissance linéaire
|b(t, x)| < K(1 + |x|), |ó(t, x)| < K(1 +
|x|)
Alors il y a unicité trajectorielle pour E(ó,
b).
De plus, pour tout espace de probabilité filtré
(Ù, F, (Ft)t>0, P)
et tout (Ft)t>0- mouvement brownien, il existe pour chaque
x E Rd, une (unique) solution forte pour
Ex(ó, b).
Preuve
Afin d'alléger les notations, on traitera uniquement le
cas d = m = 1. Commençons par établir l'unicité
trajectorielle. Sur le même espace et avec le même mouvement
brownien B, on se donne deux solutions X et
X' telle que X0 = X'0. Pour
M > 0 fixé, posons
ô = inf{t > 0,|Xt| > M ou
|X't| > M}. On a alors, pour tout t
> 0,
ftAT ftAT
Xt?ô = X0 + J u(s,
Xs)dBs + J b(s,
Xs)ds
0 0
Vu que X' est aussi une solution, nous avons
l'équation analogue
tAT tAT
f I XXAT = X'0 + J o'(s,
X's)dBs + b(s,
X's)ds
o
1.3 Théonème d'existence et
d'unicité 16
Remarquons que X et X' sont bornées
par M sur l'intervalle ]0, ô]. En faisant la
différence membre à membre de ces deux
équations et par passage à l'espérance, on aura :
h(t) : = E[(Xtnô -
X0tnô)2] (1.4)
=
EJ[[ rtnT (u(s, X5) -- u(s,
X8))dB8 + /~t/~T b((s, X8) --
b(s, X0s))d( 2 )
o Jo
En utilisant le fait que (a + b)2 =
2a2 + 2b2, on aura :
h(t) = 2E[(~tnô(ó(s,
Xs)-ó(s,
X0s))dBs)2]+2E[(~tnô
b((s, Xs)-b(s,
X0s))ds)2].
o o
Par la propriété,isometrie on a
2E[(J(u(s, X8) -- u(s,
Xs))dB8)2] =
2E[(~tnT(u(s, X8) -- u(s,
X0s))ds)2].
o o
En utilisant l'inégalité de Hölder et en
majorant t ? ô par T, on trouve
2E[(~tnô b((s, Xs) - b(s,
X0s))ds)2] =
2TE[~tnô b((s, Xs) - b(s,
X0s))2ds]
o o
Ce qui donne
tnô
h(t) = 2TE[~ ó((s, Xs) - ó(s,
X3))2ds] + 2TE[~tnô
b((s, Xs) - b(s, X3))2ds]
o o
tnô
o 0
= 2E[f K2|Xs -
X:|2ds] + 2TE[~
K2|Xs - X:|2ds]
tnô
= 2K2(1 + T)[ f
K2|Xsnô -
X0snô|2ds]
o
où l'avant dernière inégalité
provient du fait que b et ó soient lipschitziennes. La fonction h
vérifie
t
h(t) = C J h(s)ds
0
1.3 Théonème d'existence et
d'unicité 17
avec C = 2K2(1 + T2).
h est bornée par 4M2 et vérifie
les conditions du lemme de Grönwall avec a = 0 et b =
C ce qui donne alors h = 0 donc P-p.s Xt?ô =
X't?ô. En faisant tendre M vers +oo, on aura Xt =
X't pour tout t.
X est alors une modification de X', mais comme ces
processus sont continus, alors ils sont indistinguables. Ce qui achève
la preuve de l'unicité trajectorielle. Passons à présent
au deuxième point.
On construit la solution par la méthode d'approximation de
Picard. On pose
X0t = x (1.6)
t
X1t = x + J
u(s, x)dBs + J t b(s,
x)ds (1.7)
0 0
t
Xnt = x + J
u(s, X3 -1)dBs + J t
b(s, X3 -1)ds (1.8)
0 0
Par récurrence pour chaque n, Xnt
est continu et adapté, donc le processus
u(t, Xnt ) l'est
aussi. Fixons T > 0 et raisonnons sur [0, T]
vérifions d'abord par récurrence sur n que
WCn : Vt E [0, T]
E[(Xnt )2] <_
Cn. (2.2)
Pour n = 0, il n'y a rien à montrer.
Supposons à présent que ceci est vrai à
l'ordre n - 1 et vérifions que cela reste vrai à l'ordre
n.
Le cacul du moment d'ordre deux de l'intégrale
stochastique se justifie par le
fait que E[f0t u(s,
Xn-1
s )2ds] < oo, ce qui
découle de la croissance linéaire et de
l'hypothèse de récurrence.
En utilisant encore la croissance linéaire, on
écrit
E[(Xnt )2]
<_ 3(x2 + E[(f0 t u(s,
sXn-1)dBs)2]
+ E[(f0 t b(s, Xn-1
s )ds)2])
<_ 3(x2 + E[f0 t
u(s, Xn-1
s )2ds] + tE[f0t
b(s, Xn-1
s )2ds])
<_ 3(x2 + E[f0 t
(K + K|Xn-1
s |)2ds] + tE[f0 t (K
+ K|Xn-1
s |)2ds])
<_ 3(x2 + (1 +
t)E[f0t (K +
K|Xn-1
s |)2ds])
<_ 3x2 + 3(1 +
t)E[f0t (2K2 +
2(KXn-1
s )2)ds]]
<_ 3x2 + 6T(1 +
T)(K2 + 4Cn-1) :=
Cn.
1.3 Théonème d'existence et
d'unicité 18
La majoration (2.2) et l'hypothèse de croissance
linéaire sur u entrainent que la martingale locale
(f0t u(s,
Xns )dBs) est une vraie
martingale bornée dans L2 pour tout n. On utilisera ceci pour
majorer par récurrence
|
On a
|
E[ sup 0<t<T
|
|Xn+1 t -
Xnt |2]
|
Xn+1 - Xn =
f(u(s,
Xns) - u(s
Xn-1s))dB + f(b( s X) - b(s
Xn-1s))ds
,s ,
d'où
|
E[ sup 0<s<t
|
|Xn+1 s -
Xns |2]
|
< 2E[ sup 0<s<t
|
|
|
sup 0<s<t
|
s
|f(b(u, Xnu) - b(u,
Xn-1u))du|2]
|
|
t
< 2(4E[(f (u(u,
Xnu) - u(u,
X~-1))dBu)2]
+
E[(f
t |b(u, Xnu) -
b(u, X~-1)|du)2]) 0
< 2(4E[(u(u, Xnu) - u(u,
Xn-1
u ))2du] +
TE[
ft (b(u, Xnu) - b(u,
X,n-1))2du])
t
< 2(4 + T)K2E[f
|Xnu -
X,n-1|2du] 0
t
< CTE[ f sup |Xr - XT
-1|2dr] 0 0<r<u
Avec CT = 2(4 + T)K2, posons
|
gn(u) := E[ sup
0<r<u
|
| fs (u(u, Xnu) - u(u, Xr1))dBu|2 +
|Xnr - Xn-1
r |2].
|
1.3 Théonème d'existence et
d'unicité 19
Ainsi on vient de montrer que
f
t
gn+1(t) < CT gn(u)du (I)
D'autre part, Vn, gn est bornée sur [0, T]. En
effet, pour n > 0 :
ft
gn(u) < 2(4 + T)K2E[J
IXnu - X:-1 |2du] (1.9)
T)K2E[f
< 2(4 +
T)K2E[J(2(Xnu)2 +
2(Xu-1)2du] (1.10)
o
< 4T(4 + T)(C2n +
C2n-1) (1.11)
g0(t) = x2 qu'on appelle C0T.
Une récurrence simple sur (I) donne :
n
gn(t) <
C0T(CT)n!.
Et, en vertu du critère de D'alembert, on obtient
Comme la norme de L1 est dominée par la norme
de L2, on aura
|
00
E
n=0
|
E[ sup
0<t<T
|
|Xn+1 t - Xn t |] < oc.
|
|
00
E
n=0
|
sup
0<t<T
|
|Xn+1 t - Xnt | < oc.
|
Le théorème de la convergence monotone nous
permet de dire que
|
00
E[E
n=0
|
sup
0<t<T
|
|Xn+1 t - Xnt |] < oc.
|
Ce qui entraîne que p.s.
1.3 Théonème d'existence et
d'unicité 20
Mais si n,m ? N avec n < m :
|
sup
0=t=T
|
|Xmt - Xnt | =
|
m-1E k=n
|
sup
0=t=T
|
|Xk+1 t - Xkt
| -? 0 quand n, m ? 8.
|
Par suite, p.s. la suite (Xnt , 0 = t =
T)n converge uniformément sur [0, T] vers un processus limite
X = (Xt)t=0 qui est continu et adapté. En effet, on
vérifie par récurrence que chaque processus Xn est
adapté par rapport à la filtration canonique de B, et donc X
l'est aussi.
On a P - p.s.
|
sup
0=s=T
|
|Xs - Xns | = lim
m?8
|
sup
0=s=T
|
|Xms - Xns |
(1.12)
|
|
E8
=
k=n+1
|
sup
0=s=T
|
|Xks - Xk-1
s | (1.13)
|
En introduisant la norme L2, on trouve que
|
E[ sup
0=s=T
|
|Xs - Xns
|2] = (
|
8
E
k=n
|
gk(T)1/2)2
-? 0 quandn ? 8
|
= T2K2E[ sup
0=s=T
|Xs - Xns
|2] -? 0(1.16)
et on en déduit que
Z0
et
Z0
t ó(s, Xs)dBs = lim J t
ó(s, Xns )dBs
dansL2
n?+8 0
t b(s, Xs)dBs = lim ft b(s,
Xns )dBs dansL2.
n?+8
En effet
E[(f
t t
(u(s, X3) -- u(s, X3
))dBs)2] = E(f (u(s, Xs)u(s,
Xns ))2ds) (1.14) t
= E(K2 f |Xs -
Xns |2ds) (1.15)
0
1.4 Exemple 21
1.4 Exemple 22
et on procède de la mème manière pour b.
En passant à la limite dans l'équation de
récurrence pour Xn(2.3), on trouve que X
est une solution (forte) de Ex(ó, b) sur
[0, T].
| 
