Phénomènes induits par le bruit dans les systèmes dynamiques décrits par des équations différentielles.

Chapitre 1

Équations Différetielles Stochastiques

1.1 Définitions et propositions

Le but des équations différentielles stochastiques est d'étudier l'évolution d'un sys-thème physique perturbé par un bruit aléatoire. Partons d'une équation différentielle ordinaire de la forme.

dyt = b(yt)dt

On rajoute, pour exprimer ce bruit et définir son intensité un terme qui sera de la forme udBt où Bt est un mouvement brownien et une constante, on obtient une équation différentielle stochastique de la forme

dyt = b(yt)dt + udBt.

On généralise cette équation en permettant à u de dépendre de l'état de y à l'instant t :

dyt = b(yt)dt + u(yt)dBt.

On peut encore généraliser cette équation en permettant à b et u de dépendre aussi du temps t pour avoir enfin une équation différentielle stochastique de la forme

dyt = b(t, yt)dt + u(t, yt)dBt.

Cela conduit à la définition suivante.

On note par _(M)d×m(R) l'ensemble des matrices d × in à coefficients réels.

1.2 Exemples 13

Définition 1.1.1. Soient d et m deux entiers positifs et soient u et b des fonctions mesurables localement bornées définies sur R x R^d et à valeurs respectivement dans (M)dxm(R) et R^d . On note u = (uij)1<i<d,1<j<m et b = (bi)1<i<d.

Une solution de l'équation :

E(u,b) :

dXt = u(t, Xt)dBt + b(t, Xt)dt

est la donnée de :

- Un espace de probabilité filtré (Ù, F, (Ft)t = 0, P) satisfaisant les conditions habi-

tuelles.

- Un (Ft) mouvement brownien défini sur cet espace et à valeurs dans R^m,

B = (B¹,...,B^m).

- Un processus (Ft)-adapté continu X = (X¹,..., X^d) à valeurs dans R^d tel que :

Z t Z t

Xt = X0 + u(s, X_s)dB_s + b(s, X_s)ds

0 0

- Lorsque X0 = x E R^d , on dira que le processus X est solution de E_x(u, b).

Il existe plusieurs notions d'existence et d'unicité pour les équations différentielles stochastiques. On les cite dans la définition suivante.

Définition 1.1.2. Pour l'équation E(u, b), on dit qu'il y a

- existence faible si pour tout x E R^d il existe une solution de E_x(u, b).

- existence et unicité faibles si de plus toutes les solutions de E_x(u, b) ont mème loi - unicité trajectorielle si l'espace de probabilité filtré (Ù, F, (Ft)t = 0, P) et le mou-

vement brownien B etant fixes, deux solutions X et X^' telles que X0 = X' 0 P.p.s.

sont indistinguables.

On dit de plus qu'une solution X de E_x(u, b) est une solution forte si X est adapté par rapport à la filtration canonique de B.

La solution d'une équation différentielle stochastique, si elle existe, n'est pas forcément unique et si elle l'est dans un sens, elle ne l'est pas forcément dans l'autre.