1.6 Difusions d'Itô
Dans ce chapitre, on s'intéresse aussi au cas où
les coeffcients b,ó dépendent de l'état
a `linstant mais pas du temps lui mème ó(t,
y) = ó(y). On montrera que la solution d'une
telle équation posséde, en autre les propriétés de
Markov
1.6.1 Définitions et propositions
Définition 1.6.1. On dit que
(Yt) = (Ytx)t un processus
d'Itào dans Rn s'il
s'ecrit
Z t Z t
(Y x
t )t = x + u(s,
ù)ds + v(s,
ù)dBs
0 0
avec,pour tout t ~ 0
- f 0 t
v(s,ù)2ds <oc presque
sûrement
- f 0 t |u(s, ù)|ds < oc presque
sûrement - u(t,.) et v(t,.) sont Jt
-mesurables.
Définition 1.6.2. Une diffusion
d'itô(homogéne) est un processus stochastique X =
(Xt)t=0) de Rn satisfaisant l'EDS de
la forme
dXt = b(Xt)dt +
(ó(Xt)dBt, t ~ s, Xs =
x
1.6 Difusions d'Itô 25
Ou s = 0 donné, B un mouvment brownien de
dimension m, b :IR,n -? IR,n et
ó : IR,n -? IR,n*m
satisfont les conditions du théoréme d'existence et
d'unicité qui se réduisent dans ce cas à la condition
suivante :
?D > 0; |b(x) - b(y)| +
|ó(x) - (y)| = D|x -
y|;
pour tous x,y ? IR,n
Ou |ó|2 = E
|ói,j|. Dans ce chapitre, On notera
- Xt = Xs,x
t ; t = s la solution(unique)de (3,1) Quand s = 0
on note Xxt au lieu
de X0,x
t
- Px désigne la loi de B sous
B0 = x et Ex l'espérance sous
Px.Qaund x = 0,P0 = P
- Px désingne la loi de X sous
X0 = x et Ex l'espérance sous
Px.Qaund x = 0, on note E au lieu E0
- (Fmt )t>0
la filtration canonique de mouvement brownien m-dimensionnel
Précision que puisque X est la solution de(3,1) ,elle est
obligatoirement adap-tèè á
(Ft)t>0. Donnons
maintenant une expression mathématique á Px
et
Px :Pour tous boréliens E1, ,
Ek de IR,n et tous réels positifs
t1, , tk; K =
1 on a :
Px(Bt1 ? E1, , Btk ?
Ek) = P[(Btl + x)
? E1, , (Btk + x)
? Ek]
et
Px(Xt1 ? E1,
, Xtk ? Ek) = P[(Xxt1 ?
E1, , Xxtk ? Ek]
Une diffusion d'ITô est homogéne dans le temps,
chose que l'on voit dans la
proposition suivante :
Proposition 1.6.1. les processus
(Xô,x
ô+t)t>0) et
(X,xt )t>0) sont
de méme loi sous
P
Preuve
On a
f
T+t fT+tXT+ = x +
b(Xô,x
u)du + J u(Xô,x
u)dB T
1.6 Difusions d'Itô 26
En effectuant un changement de variabl, v = u - r,on
trouve
t t
XT+t = x + J
b(XT+v)du + J
ó(XT+v)dBô+v
o o
En posant Bôv =
Bô+v - Bô, on aura
Irt f
t
X
ô,x ô+t = x +
b(Xô+v)dv +
u(Xô+v)d(Bô+v -
Bô) (1.20)
0 o
t
= x + Jo b(XTv)dv + J t
ó(XT+v)dBv
o o
(1.21)
D'un autre côté,
xt,x = x + J t
b(x°,x)dv + f
t ó(x°,x)dBv
0
Comme B et Bô sont de
même loi, par l'unicitè faible, on a :
(Xô,x
ô+t)t>0 = (X,x
t )t>0 en loi.
On est désormé en mesure de vérifier les
proppriétés de Markov.
Proposition 1.6.2. (Propriété
de Markov faible) Si f une fontion mesurable
bornée de Rn dans,
Rn,alors
Vt, h > 0
Ex[f(Xt+h)/y(m)t
](ù) = EXt(ù)[f(Xh)] P -
ps
Enonçons à présent la
propriété de Markov forte, la preuve de la
propriété de Markov faible découlera directement de
celle-ci.
Proposition 1.6.3. (Propriété
de Markov fort)
Si f une fontion mesurable bornée de
Rn dans, Rn et r un temps d'arrêt
par rapport à (y(m)
ô ) averc r < oo P-ps. alors
1.6 Difusions d'Itô 27
en effet :
?h = 0
Ex[f(Xô+h)/F(m)
ô ](w) =
EXô(ù)[f(Xh)]
P-ps Preuve : On veut montrer que
Ex[f(Xô+h)/F(m)
ô ](w) = EXô
(ù)[f(Xh)]
Remarquons que puisqu'on a la propriété de
Markov forte pour un mouv-ment brownien, l'homogéniété
dans le temps pour une diffusion d'Itô reste vraie si l'on change un
temps déterministe de t par un temps d'arrêt r
(fini P-p.s).
On a
|
on a
donc
|
|
|
X0 t = Xx t - x
|
|
|
E[f(Xô+h)/Fô]
|
=
|
E[f(Xô+h +
x)/Fô]
|
(1.22)
|
|
|
=
|
E[f(Xô+h - Xô
+ Xô +
x)/Fô]
|
(1.23)
|
|
|
=
|
E[G(Xô+h -
Xô, Xô +
x)/Fô]
|
(1.24)
|
|
|
=
|
g(Xx ô )
|
(1.25)
|
|
avec
|
|
|
|
|
|
g(á)
|
=
|
E[G(Xô+h -
Xô,á)]
|
(1.26)
|
|
|
=
|
E[f(Xô+h - Xô
+ á)]
|
(1.27)
|
|
|
=
|
E[f(Xh + á)]
|
(1.28)
|
|
|
=
|
Eá[f(Xh)]
|
(1.29)
|
ou G(x,y) = f(x + y)
Afin de pouvoir effectuer ces calculs, on a utilisé la
proposition suivante. Soient une sous-tribu de I, Y un vecteur aléatoire
- mesurable et X une variable aléatoire indépendante de . Alors,
pour toute fonction mesurable h,
E[h(Y, X)/ ] = ö(Y ), P - ps
où
ö(t) = E(h(t, X))
1.6 Difusions d'Itô 28
- Xô+h - Xô est
indépendant de Fô
- Xô est Fô
mesurable
- G est une fonction mesurable bornée En remplaçant
á par Xô, on obtient
Ex[f(Xô+h)/F(m) ô
](ù) = EXô(ù)[f(Xh)] P -
ps
Ce qui termine la preuve.
La propriété de Markov faible est obtenue en
posant, pour chaque t fixé, r = t
a*(y) = f(x*(y),y)
| 
