Phénomènes induits par le bruit dans les systèmes dynamiques décrits par des équations différentielles.

3.3 Étude qualitative de la transition du bruit fort au bruit faible

Nous transformons l'équation (3.1) en coordonnées (îz) qui ont été introduites dans la partie sur l'équation déterministe. Ensuite nous nous intéressons à l'approximation de cette équation pour des valeurs de z petites. Nous pouvons ainsi exprimer î en fonction du temps et obtenir une EDS portant sur z que nous résolvons. En considérant que nous obtenons un spike quand z devient négatif, nous pouvons calculer la probabilité qu'il n'y ait pas de spike, c'est à dire que z reste positif. A partir de l'expression de cette probabilité , nous étudions pour quelles valeurs de ó, E et ä cette probabilité est proche de 0, proche de 1 et proche de 1/2. Nous obtenons trois bruits de coupures :

óc1 = E¹/⁴ä qui est la limite supérieure du bruit faible, óc2 = E³/⁴ qui est la limite

v

supérieure du bruit fort et une limite intermédiaire óc3 = ~ä

pour laquelle nous avons la même probabilité de faire un spike et une petite oscillation. Nous avons alors les trois cas :

1. ó << E¹/⁴ä correspond au régime où il y a de rares spikes isolés

2. ó >> E³/⁴ correspond au régime il y a une suite de spikes ininterrompus

3. < E¹/⁴ä < ó < E³/⁴ correspond au régime intermédiaire avec des trains de spikes entrecoupés de petites oscillations. Dans ce régime, nous avons le cas particulier

v

ó = åä où la probabilité de faire un spike est égale à 1/2

3.3 Étude qualitative de la transition du bruit fort au bruit faible 76

3.3.1 Transformation de l'équation stochastique

Nous écrivons l'équation (3.1) dans les coordonnées (î, z) introduites dans l'étude du système déterministe (2.6) Nous rappelons la définition de la variable

1 - ce

a* =
	3

Proposition 3.3.1. Dans les variables (î, z) et le temps t/\/E le système de FitzHugh-Nagumo (3.1) prend la forme

dît = (¹₂ - z + 3E i )dt + ó1 + d wt¹

dzt = (u + _2îtzt + 3^Eî⁴)dt - 2 ó1îtdwt¹ + ó2îtdwt²

(3.10)

Où

ó1 = -3a*6^-3/^4ó1 ó2 = 3a*E^-3/^4ó2				(3.11)
u = u	ó1^2 3a*	3a*(ä - ó^21/~) = \/E

Pruve

Nous allons faire les mêmes changements de variables que pour l'équation déterministe

dans la proposition (2.4.4)

\/~dW ⁽¹⁾

~dxt = (xt - x3 t + yt)dt + ó1 t

dyt = (a - xt - cyt)dt + ó2dW ⁽²⁾

t

Le premier changement de variables

x = u + a_*

(3.12)

v = v + a³_* - a*

3.3 Étude qualitative de la transition du bruit fort au bruit faible 77

Maintenant nous faisons le quatrième changement :

qui est le changement d'origine ne modifie pas les termes stochastiques. Nous obtenons le systéme en coordonnées (u, v) :

v~dW ⁽¹⁾

dut = (ut - 3á * u2 t - u3 t + c~ut)dt + ó1 t

dvt = (ä - ut - cvt)dt + ó2dW ⁽²⁾

t

Où le parametre ä = a-a_*-c(a³_*-a_*). A présent nous faisons le changement d'échelle

u = vEî v = Eç

(3.13)

Les termes stochastiques sont divisés par vE. Cela donnes le système en (î, ç) :

vEdît = (çt - 3á * î²_t + vE(cît - î³_t ))dt + ó1 v~dW ⁽¹⁾

t

vEdçt = ( ä _vE - ît - cvEçt)dt + ó2v~dW ⁽²⁾

t

Ensuite nous faisons le changement de temps t = vEt^, Nous avons l'égalité eb loi vaWat = Wt. Dans notre cas nous avons Wt = WvEt, = ¹/⁴W_t^,. En notant t a' la

place de t' pour alléger l'écriture, nous obtenons

dît = (çt - 3a_*î²_t + vE(cît - î³_t ))dt + E^-3/⁴ó1dW_t¹

dçt = ( ä v~ - ît - cv~çt)dt~-3/4ó2dW t 2

(3.14)

3.3 Étude qualitative de la transition du bruit fort au bruit faible 78

(3.20)

ç = î² + z - 1 (3.15)

2

D'après la formule d'Itô,

dç = dzt + 2îtdît + (dît)² (3.16)

et

(dît)² = ((çt - 3a_*î²_t + V ,(cît- î³_t ))dt + E^-3/⁴ó1dW_t¹)² (3.17)

avec les régles de multiplication

dt² = dt.dw¹_t = 0

(dw¹_t)² = dt

(3.18)

Dans le calcul du carré dans l'expression (3.7), il ne reste donc qu'un terme

(dî2t )² = ~^-3/²ó²₁dt (3.19)

Nous avons donc le système :

1 / t

dît = zt - 6a* + V E(c6 - î³_t ) _]dt + E^-3/⁴ó1dW¹

~ ä 1 - 6a*îtzt + V ~(6a*î4

dçt = V - ~-3/2ó2 t + c( 1 - 9a*î2 t - zt))]dt - 2~-3/4ó1dW t 1 + ~-3/4ó2dW t 2

6a_*

3.3 Étude qualitative de la transition du bruit fort au bruit faible 79

Nous finissons par deux renormalisations en changeant î en -î = 3a_* et z en z = 3/a_*, nous obtenons

11 1 ^{3 3}/^{4 1}

dît =

dzt =

13a_*ä

€ - 3a_*c^-3/²ó² 1- 2îtzt + v~( 2 î4 t +c(1 2 - 3a*î2 t - zt))]dt - 6a*c-3/4ó1îtdW t 1 9a2 *

+ 3a*~-3/4ó2dW t 2

(3.21)

En définissant, ó1, ó1 et u comme dans la proposition, nous avons le système d'EDS (3.4.1).

3.3 Étude qualitative de la transition du bruit fort au bruit faible 80

FIGURE 3.1 - Exemples de représentation de en fonction du temps. Les paramètres sont c = 0, 01 , 8 = 3.10^-3 pour la ligne du haut et 8 = 5.10³ pour la ligne du bas. L'intensité du bruit est o1 = o2 = 1, 46.10^-4 , 1, 82.10^-4, 2.73.10^-4et3, 65.10^-4.

Sur la figure( 3.1), nous avons représenté l'évolution de la variable en fonction du temps pour différentes valeurs de 8, o1 et o2. Pour un bruit faible, nous avons de rares spikes isolés. Le nombre de spikes augmente ensuite avec le bruit mais leur amplitude est presque constante. Entre deux spikes, nous observons des petites oscillations autour de la valeur d'équilibre qui est proche de -u. Quand le bruit est faible, il y a un grand nombre de petites oscillations entre deux spikes et ce nombre diminue quand le bruit augmente. L'amplitude de ces petites oscillations n'est pas constante.

3.4 Commentaire 81