3.4 Commentaire
Nous allons regarder comment évolue le comportement de
la solution du système (3.6) suivant les valeurs des différents
paramètres. Avant d'étudier le système (3.6), nous
considérons d'abord une approximation de ce système. Nous
étudierons dans une autre partie l'écart entre la solution
approchée et la solution de (3.4.1) et nous montrerons que cet
écart est petit. Nous pouvons séparer le comportement de la
solution en deux parties :
1. la trajectoire reste au voisinage du point
d'équilibre P. La variable z est alors positive.
2. la trajectoire s'éloigne du point
d'équilibre en allant dans la région z < 0
Nous considérons qu'il y a un spike quand la
trajectoire coupe la ligne séparatrice z = 0 Pour z petit, nous pouvons
approcher la première équation par dît/dt ' 1/2 et nous
approchons î par
t
ît = 2 + î0 (3.22)
En prenant î0 = 0, nous avons alors pour zt
l'équation approchée
dzt = [u + tzt]dt - ó1dW1 +
ó2d W2 (3.23)
Par la méthode de la variation de la constante, nous
obtenons :
t
zt =
et2/2(z0e-t2/2
+ u J e-s2/2ds - ó1 J t
e-s2/2dWs1
+ ó2 J t e-s2/2d Ws2)
(3.24)
to to to
Le processus zt suit une loi normale N(E(zt), Var(zt)). Calculons
E(zt) et Var(zt) :
t
E(zt) =
et2/2(z0e-t2/2
+ u f e-s2/2ds) (3.25)
to
3.4 Commentaire 82
var(zt) = E[(zt - E(zt))2]
= et2E(-ó1 J
e-s2/2ds1 + ~2 J
e-s2/2dWs2 )2
to W to
/t t
(3.26)
to to
= et2(-ói J e-32ds +
ó22J e-s2/2ds)
par l'isométrie 'Itô.
Regardons la probabilité qu'il n'y ait pas de spike,
c'est à dire que zt est plus grand qu'une valeur seuil x :
P[zt > x] =
|
Zæ
|
+00 e-(y-E(zt))2/2var(zt)
.2ðvar(zt)
|
dy (3.27)
|
100
æ e-y2/2
(x) = 2ð
(3.30)
En faisant le changement de variable
u =
|
y - E(zt) (3.28)
.var(zt)
|
nous obtenons
+00
L
P[zt > x] = e--u2/2
-E(zt))/var(zt) du
ü 2ð
= 1 - ö(x - E(zt) .var(zt))
où ö est la fonction de répartition de la loi
normale standard
|
(3.29)
|
3.4 Commentaire 83
Nous prenons t0 = 0, x = 0 et z0 << u et étudions
alors
x - IE(zt)
limt?+8 (3.31) Vvar(zt)
Nous avons
Z0
|
+82 1 f+Ô0 2 ð
s2e-s ds = 2 ,J e-s ds = 4
(3.32) 0
|
Nous pouvons alors approcher
lim Vvar(zt) = Vð et2/2ó
(3.33)
t?+8 4
Cela nous donne
lim
t?+8
|
-E(zt Vvar(zt)
|
ð1/4 (3.34)
ó
|
La probabilité p de faire un spike est égal
à
P = ö(-
|
f...1,ð1/4)
= ö(-(ðE)1/4 ä/2
+/~2
~ (3.35)
V/ 1 2
|
3.4 Commentaire 84
Nous pouvons distinguer les trois différents
régimes suivant la valeur de u/ó
1. u >> ó alors la probabilité p
est très petite et nous sommes dans le régime où il
\/
n'y a pas de spike. Dans les variables de départ, cela
donne ó2 1 + ó2 2 <<
€1/4ä
2. u << ó, alors la
probabilité p est proche de 1. Nous sommes dans le régime
où il y a une suite de spikes u << ó implique
que u2 << ó2 qui
s'écrit dans les
\/
variables d'origine ó2 1 + ó2 2 >> 3/4
3. |u| = O(ó) nous avons
alors le régime intermédiaire avec une alternance de suite
\/
de spikes et de petites oscillations. Cela correspond à
€1/4ä << ó2 1 + ó2 2
<< 3/4 Dans ce régime, nous avons le cas particulier u = 0 C'est
a' dire ó1 = vcä où la probabilité de faire
un spike est égale à 1/2.
|