Phénomènes induits par le bruit dans les systèmes dynamiques décrits par des équations différentielles.

3.2 Étude qualitative du rayon moyen du petit cycle

Nous évaluons et comparons l'ordre de grandeur des différents termes de (3.2) pour étudier le comportement des solutions.

Nous considérons le cas | ä |= vå. Nous avons alors uI uR. Regardons l'ordre de

grandeur des autres termes dans l'équation (3.2). Comparons uI et 3arcosè(

Par identification entre (3.3) et (3.5), nous trouvons Ä)2/(åuI).

La constante 3a est proche de v3 donc d'ordre 1. Nous avons alors

3.2 Étude qualitative du rayon moyen du petit cycle 72

sinè(0)² = u²_Rsinècos²è - 2uRuIcosèsin²è + u²_Isin³è (3.7)

Nous considérons que cosè et sinè sont de l'ordre de 1. Cela donne pour 0 l'estima-tion :

(0)² 'u2 _R + u2 I = 1 å

et donc

3a 2 rcosè( åuI

0)^2 ' r å - ä2

Nous sommes dans le cas ä² « å . Pour que le terme en uI soit dominant dans la

0)²,

deuxième équation différentielle qui porte sur è, c'est à dire uI » 3arcosè/åuI( nous devons avoir

r « å

Posons

_ó2

S = ~2I cos²è + ó2 ^s2n²è.

Regardons l'ordre de grandeur de S.

4e~i2 2

S + U₂
4å - ó2

Si ä² « å, nous avons alors pour S l'estimation

S ' ó²₁ + ó²₂

Comparons maintenant les termes uRr et S/r. Dans le cas où ä² « å et r « å, uRr < vå et S/r > (ó2 ₁ + ó² ₂)/å. Pour r suffisamment petit, le champ de vecteur est horizontal donc è varie beaucoup plus vite que r et nous pouvons regarder la moyenne de r sur une période c'est à dire sur [0,2ð]. Regardons la moyennisation en èt sur [0,2ð] de l'équation sur drt du système (3.2),

3.2 Étude qualitative du rayon moyen du petit cycle 73

sinè(

Ä)^3 = -u^3Rsinècos^3è - 3u^2RuIsin^2ècos^2è - 3uRu^2Isin^3ècosè - u^3Isin^4è (3.8)

Calculons les différentes intégrales des termes en è qui apparaissent dans les développements (3.3) et (3.4) :

Z0	2ð 2ð cosèdè = J sinèdè = 0 0

Z0

2ð 2ð 2ð

sinècos²èdè = Jo

cosèsin²èdè = J sin³èdè = 0

Z0

0 o

2ð 2ð

o

sinècos³èdè = J sin³ècosèdè = 0

2ð

_p

4

J0 sin²ècos²èdè = ð

₁

2ð

sin⁴èdè = 3ð

4

j2ð sin²èdè = j2ð

cos²èdè = ð

Nous obtenons alors l'équation différentielle ordinaire portant sur le rayon moyen r :

dr = -uRr dt

2 2 8å(u2R + u^2I)r^3 + (2~~2I + 2) r + Vó? + ó^22dWt

1

Nous pouvons un peu simplifier en utilisant u²_{1 vå} et nous posons ó² = ó2 1 + ó² ₂,

3 1

dr = [-uRr - 8å2r3 + ó r ]dt + ódWt (3.9)
2

3.2 Étude qualitative du rayon moyen du petit cycle 74

Calculons la valeur à l'équilibre _req de l'équation différentielle déterministe associée à l'équation (3.5).

C'est une racine du polynôme P de degré 4 :

34 ó2

Preq = uRr²_eq - 8å2 req + 2

Le polynôme P a une unique racine réelle positive req

s4å2 2 )

30.²

req = 3 (uR + u_R + 2å2

Regardons l'ordre de grandeur de _req suivant la valeur de uR. Nous pouvons distinguer

deux cas :

si u²_R » ó²/å², ce qui revient à ó » å alors

3ó² 3ó²

u²_R + _2å2 ti uR(1 + _4å2 )

ce qui implique pour req

si u²_R « ó²/å², ce qui revient à ó « å alors

req ti å1/2ó1/2

req ti

_{s r}

ó2 åó2

=

ä

uR

3.3.2 commentaire

Nous avons travaillé dans le cas où | ä |< ./å. Nous allons comparer le rayon moyen req avec å qui est la distance du point d'équilibre à la ligne séparatrice. Nous considérons que si le rayon moyen est plus petit que å, nous ne faisons pas (ou rarement) de spike alors que si ce rayon est plus grand que å nous avons une suite de spikes.

Nous distinguons alors les deux cas que nous avons obtenus pour l'approximation de req :

3.3 Étude qualitative de la transition du bruit fort au bruit faible 75

_V v

1. pour le cas req ' ~ó²/ä le rayon moyen est égal à ~ pour ó_c = ~ä Dans ce

cas ä est bien plus petit que ó

2. pour le cas req ' E1/2ó1/2 et ä << ó le rayon moyen est égal à E pour ó_c = E Nous avons donc

1. 0 < |ä| << E, ó_c = E 2. ~ >> |ä| < v~ , ó_c = v ~ä

La valeur ó_c est l'intensité de coupure entre le régime sans spike et le régime avec une suite de spikes : pour ó < ó_c, nous n'avons pas de spike et pour ó > ó_c, nous avons une suite de spikes. Nous allons affiner les frontières dans la partie suivante