Phénomènes induits par le bruit dans les systèmes dynamiques décrits par des équations différentielles.

2.6.2 Quelques résultats antérieurs

Le phénomène de résonance stochastique a été initialement introduit dans [29] (voir aussi [25] dans le but de proposer une explication de l'apparence régulière d'époques glaciaires (c.f. [14] pour une description de leur modèl). Depuis, la résonance stochastique a été observée dans de nombreux systèmes physiques et biologiques, voir par exemple [27], [28], [26].

Pour être concrets, considérons l'équation

1 dxt = [xt- x3 t + A cos(yt)]dt + u vådWt å dyt = 1

(2.67)

Elle décrit le mouvement suramorti d'une particule dans un potentiel V (x, y) = -₂x² + 1

1 ₄x⁴ +Acos(y)x, où le dernier terme agit comme une force déterministe
périodique. Si A < A_c := 2/(3v3), alors la variété lente, d'équation x - x³ = Acosy, comporte deux branches stables, que nous noterons x^? _-(y) < x^?₊(y),

séparées par une branche instable x^? ₀(y). Soit H = V (0, H/2) - V (1, H/2) = 1/4 la hauteur de la barrière de potentiel pour cos y = 0. Les cas suivants peuvent se présenter :

1. si u = 0 et 0 < A < A_c, les trajectoires restent toujours voisines de l'une des variétés stables (c'est-à-dire l'un des puits de potentiel), sans jamais visiter l'autre variété stable;

2. si u > 0 et A = 0, on a affaire au problème bien connu du passage stochastique par-dessus une barrière de potentiel : les transitions ont lieu à des temps aléatoires, dont la loi converge, pour u ? 0, vers la loi exponen-

tielle [31], d'espérance d'ordre ^åe2H/ó2 (ceci reste vrai pour des potentiels multidimensionnels);

3. si u > 0 et 0 < A < A_c, la loi des transitions aléatoires sera infuencée par le terme périodique -A cos(y)x, qui rend ces transitions plus probables à certains instants qu'à d'autres; c'est cette trace du caractère périodique

2.6 Résonance stochastique 63

FIGURE 2.6 - FF1611 Une trajectoire (trait fin) de l'équation (2.67) présentant le phénomène de résonance stochastique. La trajectoire saute presque périodiquement d'une variété stable à l'autre (courbes en gras) en passant par dessus la barrière de potentiel (en traitillé).

du forçage dans le comportement de xt que l'on dénomme résonance stochastique

Les premières approches mathématiques à ce problème se sont concentrées sur des versions simplifiées de l'équation (2.67). En particulier, le cas où le potentiel V (x, y) est une fonction constante par morceaux de y a été considéré dans F291, et plus récemment dans F321. Le cas d'une variable x discrète, i.e. d'une chaîne de Markov, a été étudié dans F331,F341, puis dans F351. Enfin, les physiciens ont passablement étudié les propriétés spectrales du générateur de (2.67) et la densité de probabilité F361, F371. Ces difféerentes approches montrent en particulier que le phénomène de résonance est le plus prononcé pour une période 1/å proche du temps de Kramers e2H/ó2.

Une description du comportement des trajectoires a été donnée pour la première fois par Freidlin dans F381, en utilisant la théorie des grandes déviations. Ses résultats montrent que les trajectoires convergent en probabilité, au sens de la norme Lp, vers une fonction périodique P(t) :

lim ó?0å=e^-2H1/^ó2

~ Z T ) P | xt - P (t) |^pdt > ä = 0 (2.68) 0

2.6 Résonance stochastique 64

pour H1 > H, tous 8 ; T > 0 fixés et p ~ 1. La fonction P(t) suit le fond d'un puits de potentiel, en changeant de puits deux fois par période. Ce résultat s'applique à une classe de systèmes trés générale, en revanche il ne donne pas d'informations sur la vitesse de convergence, ni sur sa dépendance de 8 et p.