Phénomènes induits par le bruit dans les systèmes dynamiques décrits par des équations différentielles.

2.5.3 Bifurcations dynamiques

Nous considérons toujours le système lent-rapide stochastique

1 ó

dxt = f(xt, yt)dt + F(xt, yt)dWt

å./å

(2.53)

dans le cas où le système associé admet un point de bifurcation Plus précisément, nous ferons les hypothèses suivantes

Hypothèse

- Domaine et dérivabilité : Les coefficients de dérive f E C²(D, 1[8ⁿ) et g E C²(D, 1[8^m), et les coefficients de diffusion F E C¹(D,1[8^nxk) et G E C¹(D, 1[8^mxk) seront uniformément bornés, ainsi que leurs dérivées, dans un ouvert D C 1[8ⁿ x 1[8^m ; et _{Wt}t>° est un processus de Wiener k-dimensionnel standard dans (Ù, T, (Tt), P)

- point de bifurcation : supposons que f(0, 0) = 0 et que ?_xf(0, 0) admet q valeurs propres sur l'axe imaginaire, les autres n - q valeurs propres ayant partie réelle négative. Nous pouvons alors introduire des coordonnées (x^-, z) E 1[8q x 1[8^n-q dans lesquelles le système s'écrit

(2.54)

dx^-_t = 6 f (x^-_t , zt, yt)dt + .V_EF₍x^-_t , zt, yt)dWt 1

dzt = f°(x- _t ,zt,yt)dt+ ^ó F°(x-t,zt,yt)dWt å./å

On discuterons la dynamique réduite le cas particulier avec q = 1 : la bifurcation selle-noeud

2.5.4 Bifurcation selle-noeud

dyt = g(xt, yt)dt + ó'G(xt, yt)dWt.

dyt = g(x?t , zt, yt)dt + ó'G(x?t , zt, yt)dWt,

Nous considérons ici un système réduit dans le cas d'une bifurcation selle-noeud

à l'origine (en particulier q = 1). Pour simplifier, nous discutons le cas où m = 1,

2.5 Systèmes lents-rapides stochastiques 54

et où la dynamique lente est triviale :

1 ó

dxt = f(xt, yt)dt + dWt

(2.55)

6v6

Nous pouvons donc admettre que yt = t (avec t0 pas nécessairement nul), et considérer le processus homogène _{xt}t=t0 . Une bifurcation selle-noeud (indirecte) a lieu en (0, 0) si

f(0, 0) = 0, ?_xf(0, 0) = 0, ?_yf(0, 0) < 0, ?_xxf(0, 0) < 0. (2.56)

Dans ce cas, la variété lente est formée d'une branche stable {x = x^*(y), y = 0}, avec x^*(y) ~| y |¹/², et une variété instable {x = x^*_-(y), y = 0}, avec x^*_-(y) ~ - | y |¹/².

2.5.5 Bifurcation Hopf

Dans cette section, nous considérons le cas où le système rapide admet un point de bifurcation de Hopf. Afin de garder la discussion raisonnablement simple, plutôt que de considérer le cas le plus général, nous restreindrons notre attention aux situations dans lesquelles

· le coefficient de diffusion pour la variable rapide ne dépend que de la variable lente,

· Il n'y a aucun terme de bruit agissant sur la variable lente,

· la variable lente est unidimensionnelle, tandis que la variable rapide et le mouvement brownien sont 2-dimensionnels.

Nous examinerons donc un système lent-rapide d'EDS de la forme

6 f(xt, yt)dt + ₆F(yt)dWt

1

dxt =

dyt = 1.

(2.57)

dyt = g(xt, yt)dt,

2.5 Systèmes lents-rapides stochastiques 55

S(h) = {(x, y) : y > vå, y ? I,k x k= hñ(y)}, (2.60)

sous les hypothèses suivantes. Hypothèse(Bifurcation Hopf).

· Domaine et dérivabilité : Il y a un ensemble ouvert D ? R²×R et un intervalle ouvert I ? R tel que f : D ? R², g : D ? R et F : I ? R^2x2 sont real-analytique et uniformément bornées dans la norme par une constante M.

· Variété lente : Il existe une fonction x^* : I ? R² telle que (x^*(y), y) ? D et f(x^*(y), y) = 0 pour tout y.

· Bifurcation de Hopf : la matrice jacobienne A^*(y) = ?_xf(x^*(y), y) a valeurs propres complexe conjugué a^*(y) = #177;iw^*(y). Il y a un y0 ? I tel que a^*(y) a le même signe que y - y0 et d_ya^*(y0) est stictement positif. La partie imaginaire w^*(y) est bornée loin de 0 dans I. Enfin, g(0, y) > 0 pour y ? I.

· Non-dégénérescence du terme de bruit : F(y)F(y)^T est définie positive pour tout y ? I.

[15][théorème 5.3.8]. On va fixer la condition initiale (0, y0) ? B(h) avec y0 = vå. Il existe des constantes å0, D0, h0, c1, L > 0, tel que pour tous å = å0, D = D0 et tout ã ? (0,1) et pour tout h = h0vå,

P^0,y0{ôB(h) < ô(vå)} å 1 < D 1 - ã e-k+h2/2ó2 (2.58)

où l'exposant k+ satisfait

k+ = ã[1 - c1(D + h²/å)]. (2.59)

Considérons maintenant la dynamique après yt a atteint vå, toujours en supposant que u = vu. Nous attendons maintenant des chemins d'échantillon de quitter les environs de la direction de l'équilibre au x = 0 exponentiellement rapide. L'évasion est dominée par diffusion dans un ensemble de forme

2.5 Systèmes lents-rapides stochastiques 56

où la définition de ñ(y) est donné par

ñ(y) = Tr(F(y)F(y)T) (2.61)

2a(y)

[15][théorème 5.3.9]. Soit u > 0, et l'ensemble C_u = (2 + u)-(1+u/2). Alors, pour tout y et pour tout condition initiale (x0, y) ? S(h) telle que ó < h < (y²₀C_uó¹⁺u)¹/⁽³⁺u⁾, et tout y ? I avec y = y0 ? vå,

(h)2u ~a(y m )

P^x°'^y°{ôS(h) = ô(y)} = J

óå

exp -- ku (2.62)

où á(y, y0) = go a(z)dz, et l'exposant k_u est donnée par

ku = 1+u[1 - O(å^1u^u

(O

)~ 1 . u log(1 + h/ó)

(2.63)

La probabilité en (3.37) devient petite dès que y est telle que á(y, y0) »

å(1+ u) log(h/ó). Étant donné que á(y, y0) croît quadratiquement avec y, Nous pouvons conclure que les chemins de l'échantillon sont susceptibles de quitter

_V

le domaine après un moment d'ordre å log(h/ó).

Pour compléter la discussion, Nous devons montrer que les chemins de l'échan-tillon laissent un voisinage d'ordre vy de la branche d'équilibre dès qu'y atteint

_V

ordre å | log ó |, et puis, si la bifurcation de Hopf est supercritique, approcher

l'orbite périodique originaires de la bifurcation. Cette analyse n'ayant ne pas encore été travaillée en détail, nous allons nous limiter à ce qui donne une idée de comment on pourrait procéder.

Selon la formule de Itô passer à coordonnées polaires, on obtient un système de la forme

1 ó

drt = [a(yt)rt + b_r(rt, èt, yt)]dt + _?åFr(èt, yt)dWt å

(2.64)

1 ó Fè(èt, yt

dèt = [w(yt) + bè(rt, èt, yt)]dt + _?å dWt
årt

2.6 Résonance stochastique 57

2.6 Résonance stochastique 58

oÙ b_r contient des termes d'ordre r² et ó²/r, et b0 contient des termes d'ordre r et ó²/r², tandis que F_r et Fè sont d'ordre 1. Notons, en particulier, qui en dehors de la S(ó) les termes d'ordre ó²/r et ó²/r², qui résultent de l'expression de second ordre dans la formule d'Itô deviennent négligeable en ce qui concerne le rôle de premier plan de l'expression correspondante de la dérive.

Dans l'analyse, nous nous intéressons principalement à la dynamique de la rt. Comme le mouvement de èt se produit sur une échelle de temps plus rapide que le mouvement de rt pour yt petit, nous attendons le système (3.39) soit bien approchées par sa version moyenne

1 drt = [a(yt)rt + å

br(rt, yt)]dt + ó vå Fr(yt)dWt. (2.65)