Phénomènes induits par le bruit dans les systèmes dynamiques décrits par des équations différentielles.

2.5 Systèmes lents-rapides stochastiques

Nous considérons,dans ce chapitre,des perturbations stochastique de l'EDO lente-rapide(2.1) de la forme

ó

f(xt,yt)dt + ._VåF(xt,yt)dWt

å

1

dxt =

(2.46)

dyt = g(xt, yt)dt + ó⁰G(xt, yt)dWt.

De cette façon, ó² et (ó⁰)² mesurent le rapport entre taux de diffusion et de dérive, respectivement, pour la variable rapide x et lente yNous pouvons envisager, ó = ó(å) et ó⁰ = ó⁰(å) comme étant des fonctions de å, pourvu que le rapport ñ(å) = ó⁰(å)/ó(å) soit borné supérieurement lorsque å -+ 0.

avec Les coefficients de dérive f E C²(D,1[8ⁿ) et g E C²(D,1[8^m), et les coefficients de diffusion F E C¹(D,1[8^n×k) et G E C¹(D,1[8^m×k) seront uniformément bornés, ainsi que leurs dérivées, dans un ouvert D C 1[8ⁿ x 1[8^m ; et {Wt}t=0 est un processus de Wiener k-dimensionnel standard dans (Ù, F, (Ft), P), et les

intégrales stochastiques sont définies dans le sens d'Itô ;

- les coefficients de dérive et de diffusion satisfont les conditions usuelles de croissance et de Lipshitz garantissant l'existence d'une unique solution forte

(xt, yt)t=t0 de (3.1), admettant une version continue.

2.5 Systèmes lents-rapides stochastiques 49

Pour (x0, y0) E D, nous dénotons par ^Pt0,(x0,y0) la loi du processus de Markov homogène (xt, yt)t>t0 , de condition initiale (xt0, yt0) = (x0, y0), et par Et0,(x0,y0) les espérances relativement à Pt0,(x0,y0).

2.5.1 Variété lente

Définition 2.5.1. - Soit D0 E R^m d'ouvert connexe et une fonction continue x* : D0 ? R^m tel que l'ensemble

M = {(x,y) E D : x = x^*(y),y E D0l

et f(x^*(y), y) = 0 est une variété lente du système.

- La stabilité :La variété lente est uniformément asymptotiquement stable,si, tout valeurs propres de la matrice jacobienne

A^*(y) = ?_xf(x^*(y), y) (2.47)

sont des parties réelles négatives, uniformément bornée loin de 0 pour y E D0

2.5.2 Concentration des trajectoires

Afin de définir le domaine de la concentrationB(h) nous considérons d'abord l'approximation linéaire du système (1.3) à proximité du variété adiabatique M_E

Nous introduisons la déviation ît entre xt et la trajectoire invariante x(y(t), E) tel que

ît = xt -x(yt,å)

Nous rappelons que avec x(y(t), E) = x^*(y)+o(E) Nous obtenons alors l'équation

1

dît =

[a(yt, E)ît + O(î2 _t ) + O(E(ó2)²)]dt

E

=

(2.48)

ü _E

= -ó2?_yx(y(t), E)[G0(y(t), E) + O(î(t))]dW_t²

[F0(yt, E) + O(ît)]dWt ¹

2.5 Systèmes lents-rapides stochastiques 50

FIGURE 2.4 - Exemples de trajectoires de l'équation de Fitzugh-Nagumo (3.0.1) en coordonnées (x, y) (colonne de gauche) et (t; x) (colonne de droite). Les valeurs des paramètres sont " E = 0, 01eta = 0, 58.L'intensitdubruitestdonneparó1 = ó2 = 0, 001, 0,003,0, 007.

Où a,F0, et G0 sont définis par a(y,E) = ?xf(x(y,E),y) = a^*(y) + O(E) F0(y,E) = F(x(y,E) = (x^*(y),y) + O(E) G0(y, E) = G(x(y, E), y) = G(x^*(y), y) + O(E)

(2.49)

2.5 Systèmes lents-rapides stochastiques 51

Notez que le nouveau terme de dérive disparaît lorsque ct = 0 et ó⁰ = 0 par ce que l'equation E?_xx(yt, E)g(x(yt, E) satisfaite par f(x(yt, E), yt)

Nous approchons y(t) par y⁰(t) solution de l'équation déterministe associée et nous considérons l'approximation linéaire c⁰_t de ct Nous obtenons alors le système

1 dc^0t = a(y^0t, E)c^0tdt + ^ó1vEF0(y^0t, E)dWt^1 E = -ó2?yx(y^0(t), E)G0(y^0(t), E)dWt^2 dy^0t = g(x(y^0t , E), y^0t )dt

(2.50)

En supposant que x(t) part de la trajectoire invariante x(y(t), E) au temps= 0 nous avons alors ct = 0 et nous pouvons supposer c0 t = 0 le procesuus {c⁰(t)}test un processus gaussien, centré et une variance

ó1v(t).la fonction v(t) et solution du systéme lent-rapide déterministe :

Ev^. = 2a(y⁰(t), E)v(t) + F0(y⁰(t), E)² + E[^ó1 ?_yx(y⁰(t), E)G0(y⁰(t), E)]²

ó2

dy⁰_t = g(x(y⁰_t , E), y⁰_t )dt

(2.51)

par le théoréme de Tikonove,nous deduison que v(t) peut être approchée par une fonction v(y⁰(t), E) qui vérifie

F(x(y, E), (y⁰(t))²)

v(y⁰(t), E) = + O(E) (2.52)
2?_xf(x(y, E), y⁰(t))

Cela signifie que la variance de la déviation c⁰(t) est proportionnelle à la variance du terme de bruit et inversement proportionnelle à l'attractivité de la branche d'équilibre stable.

Nous introduisons ensuite le domaine

2.5 Systèmes lents-rapides stochastiques 52

B(h) = {(x, y) : y E I, |x - x(y, E)| < h²v(y, c)}

où I est un intervalle sur lequel la branche d'équilibre x^*(y) est stable. Nous définissons les deux temps de sortie :

ôB(h) = inf{t > 0 : (x(t), y(t)) =6 B(h)}

Le domaine B(h) est un tube centré autour de la courbe invariante x et correspond à l'ensemble dans lequel nous supposons que la trajectoire va rester. Le temps ôI donne le premier temps pour lequel la variable lente y sort de l'inter-valle correspondant à une branche d'équilibre stable. Le temps _ôB(h) correspond au premier temps de sortie du domaine B(h). Nous avons alors le résultat suivant :

Théorème 2.5.1. ([12]) Supposons que la condition initiale (x(0), y(0)) soit sur la courbe invariante,ie x(0) = x(y(0), E) pour un y(0) E I Il existe alors des constantes h0, c,l > 0 telles que pour tout h < h0

P{ôB(h) < min(t, ôI)} < C(t, E) exp(-kh²/2ó²) où l'exposant k ne dépend pas du temps et vérifie

k = 1 - O(h) - O(E(ó1/h)² - O(exp -c/E/h) et le préfacteur est donné par

C(t,c) = _L(1 + t)²

h2 (1 + h2

ó2 )

Pour une valeur de h suffisamment grande, pour h >> ó, la trajectoire a une probabilité très faible de quitter le domaine B(h), avant que y(t) ne quitte l'in-tervalle I sur lequel la branche d'équilibre est définie. En particulier si nous prenons h suffisamment plus grand que ó, de l'ordre de ó| log ó|, le majorant de l'inégalité (3.2.10) devient très petit, même si nous attendons un temps assez long. La trajectoire reste donc avec une grande probabilité dans le domaine B(ó| log ó). Nous donnons ensuite un résultat pour le comportement au voisinage d'un point de bifurcation

2.5 Systèmes lents-rapides stochastiques 53