Trafic aérien de passagers et les entrées des touristes internationaux au Maroc : quelle relation ?

CHAPITRE II : Modélisation univariée du trafic aérien

1) Introduction aux processus aléatoires non stationnaires

Le fait qu'un processus soit stationnaire ou non conditionne le choix de la modélisation que l'on doit adopter. En règle générale, si l'on s'en tient notamment à la méthodologie de Box et Jenkins (cf. figure 24), si la série étudiée est issue d'un processus stationnaire, on cherche alors le meilleur modèle parmi la classe des processus stationnaires pour la représenter, puis on estime ce modèle. En revanche si la série est issue d'un processus non stationnaire, on doit avant toutes choses, chercher à la »stationnariser», c'est à dire trouver une transformation stationnaire de ce processus. Puis, on modélise et l'on estime les paramètres associés à la composante stationnaire.

La difficulté réside dans le fait qu'il existe différentes sources de non stationnarité et qu'à chaque origine de la non stationnarité est associée une méthode propre de stationnarisation. Nous allons donc commencer par présenter deux classes de processus non stationnaires, selon la terminologie de Nelson et Plosser (1982) : les processus TS (Time Stationary) et les processus DS (Differency Stationary). Dans la section suivante, nous présenterons les méthodes de stationnarisation pour chacune de ces classes de processus. Mais au delà des enjeux de modélisation économétriques, nous verrons dans cette partie, que l'origine de la non stationnarité a de très fortes implications au niveau des interprétations économiques des résultats.

1.1) Définition de la stationnarité au second ordre :

Définition : Un processus () est dit stationnaire au second ordre, ou stationnaire au sens faible, ou stationnaire d'ordre deux si les trois conditions suivantes sont satisfaites : 8 ;

, indépendant de t, l'espérance est constante (elle est inchangée dans le temps).

, indépendant de t. autrement dit, la covariance entre une composante d'une date t et une autre composante d'une autre date t+h ne dépend que de l'écart de temps (le retard `è') entre les dates, et non de la date t elle-même : par exemple on a .

Figure 20 : Exemple d'un processus non stationnaire (changement de tendance)

Processus non stationnaire de type tendance déterministe :

Considérons le processus suivant :

, avec, le processus correspond à la somme d'une fonction linéaire du temps et d'un bruit blanc.

Figure 21 : Simulation d'un processus avec tendance déterministe

Le processus n'est pas stationnaire, en effet, l'espérance mathématique dépend de t, elle croit avec le temps, à chaque date de la variable aléatoire a une espérance plus grande que celle de, l'origine de la non stationnarité provient de l'inclusion de la tendance. On dit alors que la non stationnarité est de type déterministe.

De plus que ces deux processus non stationnaires (Processus changement de tendance et processus incluant une tendance temporelle), il existe d'autres types de processus non stationnaire. Considérons le processus suivant, que l'on qualifie de marche aléatoire pure (Random Walk Process) ou marche aléatoire sans dérive : (1.1)

Avec . Dans ce type de processus, la non stationnarité n'est pas de type déterministe, en effet, le processus ne comporte pas de fonction déterministe du temps.

Le processus peut se réécrire sous la forme :

(1.2)

Sous cette forme, on peut facilement calculer les deux moments d'ordre 1 et 2.

Le moment d'ordre 1 est :

(1.3)

Donc le processus a une espérance nulle et donc il satisfait la deuxième condition de stationnarité. Voyant maintenant si le processus satisfait la première condition^15(*).

(1.4)

La variance du processus n'est pas convergente, le processus ne satisfait pas la première condition de stationnarité. Néanmoins, l'examen d'une réalisation d'un processus de marche aléatoire ne permet pas à priori de tirer une conclusion sur la stationnarité ou non du processus, d'où l'intérêt d'un test d'hypothèses de stationnarité.

Figure 22 : Simulation d'un processus de marche aléatoire (Random Walk)

La non stationnarité de ce type de processus (Random Walk) tient au fait que les chocs s'accumulent au cours du temps, ce qui accroît la variance de au fur et à mesure que le temps passe. Dans ce cas, on dit que la non stationnarité est de type stochastique.

Le type de non stationnarité, déterministe ou stochastique à de fortes implications que ce soit sur le plan statistique ou bien sur l'analyse dynamique.

* ¹⁵ Un processus est considéré comme stationnaire au second degré s'il vérifie au moins deux conditions. La première condition est que la variance doit être convergente alors que la deuxième condition est que l'espérance mathématique du processus ne doit pas dépendre du temps.