Trafic aérien de passagers et les entrées des touristes internationaux au Maroc : quelle relation ?

1.2) Stationnarité déterministe : Trend stationary (TS)

est un processus TS s'il peut s'écrire sous la forme :

où est une fonction du temps et est un processus stochastique stationnaire.

Ce type de processus est non stationnaire, on peut citer un cas très simple d'un processus TS non stationnaire, , pour ce processus, , dépend de t. en contrepartie, le processus défini par l'écart entre et la composante déterministe est stationnaire ; est un bruit blanc qu'est stationnaire par définition.

1.3)Stationnarité stochastique : Differency stationnary (DS)

est un processus DS d'ordre d, si le processus filtré défini par est stationnaire

Dans ce type de processus, la non stationnarité a une source stochastique.

1.3.1) Propriété des processus DS :

Un processus non stationnaire est un processus DS intégré d'ordre d, noté I(d), si le polynôme défini en l'opérateur retard L, associé à sa composante autorégressive admet d racines unitaires :

avec (1.5)

Ou est un processus stationnaire, et si les racines du polynôme sont toutes supérieures à l'unité en module. Pour mieux illustrer ceci, donnons l'exemple suivant :

Exemple : considérons le processus ARMA(2,2) suivant : , avec et , et , on admet que x_t est non stationnaire et l'on cherche à déterminer si x_t est un processus I(d) et quel est alors son degré d'intégration. Pour cela il suffit de déterminer le nombre de racines unitaires de .

Soient les racines de , on a et .dès lors, le processus x_t est I(1), en effet :

Ou admet une racine inférieure à 1 en module.

Définition : une marche aléatoire (Random Walk) est un processus AR(1) intégré d'ordre 1, noté I(1) : (1.6)

Où est un bruit blanc i.i.d (0,). Si c=0, on a dans ce cas une marche aléatoire pure :

. (1.7)

Les processus DS ont une propriété de persistance des chocs, ceci signifie que contrairement aux processus TS, les chocs conservent une influence sur la variable I(d).

1.4)Les conséquences associées à la distinction entre TS et DS :

Les conséquences statistiques de la non stationnarité :

Les propriétés de stationnarité ou non des séries déterminent le type de modélisation et les propriétés asymptotiques des estimateurs.

Le fait que le processus soit non stationnaire conditionne à la fois le choix de la modélisation et les propriétés asymptotiques des estimateurs des paramètres ; ceci dit, la non stationnarité affecte les propriétés asymptotiques des statistiques des tests usuels sur les paramètres. Pour bien comprendre cet enjeu statistique, on va essayer de simuler une régression entre deux processus de marche aléatoire qui n'ont théoriquement aucun lien :

et , on va essayer de faire une simulation de réalisation de T=1000 observations de xt et yt, par la méthode MCO^16(*), on va essayer d'estimer le modèle suivant :

(1.8)

Théoriquement parlant, on s'attend à ce que , à priori, il n'existe aucune relation entre les deux variables.

Le programme sous Eviews de simulation de 1000 observations de xt et yt nous donne les résultats suivants :

Le programme sous Eviews est le suivant :

Une fois le programme est compilé, le résultat est reporté ci-dessous :

Le résultat du programme est le suivant :

Cet exemple est une illustration de ce que l'on appelle la régression fallacieuse (Spurious Regression). En effet, on s'attendait à ce que , mais le t-statistique relatif à est largement supérieure au seuil de significativité.

* ¹⁶ Moindres carrées ordinaires