Etude d'une équation parabolique

1.4.3 Les espaces LP(0, T, X)

Definition 1.4.4 Soit X un espace de Banach, on désigne par L^P (0, T, X) l'espace du fonction

mesurable :

f : ]0,T [ 1-- X

(1.18)

t' f (t)

U

tel que

)1

Ilf (t)11¹;dt ^P = 1f1LP (0,T,X) < o, (1.19)

pour tout 1 < P < 1

0f

Lemme 1.4.2 Soit f 2 L^P (0, T, X) et 2 L^P (0, T, X), pour 1 < P < oo, nous avons f

continue de [0, T ] dans X , c'est-d-dire f EC ¹ (0, T, X) .

1.4.4 Espace de Hilbert

Définition 1.4.5 Est un un espace vectoriel X muni d'un produit scalaire (u, v) et qui est complet

pour la norme (u, v)

1 2

dans tout la suite X désigne un espace de Hilbert

Proposition 1.4.1 X est uniformément convexe et donc réfléxif.

Définition 1.4.6 On appelle base hilbertienne une suite(e₇₁)_71>1d'éléments de X tels que

je71 = 1 Vm, he_m; e71) = 0 Vim; ii; im =6 n_;

l'espace vectoriel engendré par les _(e71)71>1 est dense dans X

Théorème 1.4.11 Tout espace Hilbert séparable admet une base hilbertienne.

Proposition 1.4.2 Théorême 1.4.12 Soit X est un espace de Hilbert pour le produit scalaire
(,). Soit _(e71)71>1 une base Hilbertienne de X. Pour tout élément x de X, il existe une unique suite

(x71)71>1 de réels telle que la somme partielle _Pp x71e71 converge vers x quand p tend vers l'infini, et

n=1

celle suite est définie par x71 = (x, e71), de plus on a Xkxk^2 = (x; i) = 71>1 On écrit alors

jhx; enij^2 :

Définition 1.4.7 - Théorême 1.4.13 Proposition 1.4.3

Xx = 71>1

(x; e71) e71.