Etude d'une équation parabolique

1.4 Espaces fonctionnelle

1.4.1 Les espaces Lp

On donne ici quelques définitions et propriétés élémentaires.

Définition 1.4.1 Soit un ouvert de 1ⁿ et 1 < P < oc, on définit L (~) un espace de Lebesgue par:

LP (~) =

8 < :

ff : ~ ~! 1^n, f est mesurable et ~

jf (x) ^P dx < 1

9 = ;

: (1.13)

pour P = 1 et 0 < P < 1 , on définit f par:

0 j Mf M = @jf (x) ^P dx ~

1 P

:

(1.14)

Si P = oc, nous avons :

L°° (~) = ₍f : ~ ~! 1, f

)

est mesurable, il existe une constante C telle que jf (x)j ~ C p.p sur l

:

On note

kfk°° = inf {c, jf (x)j ~ c}

Théorème 1.4.1 (Inégalité de Holder).

Soit f 2 L" (~) et g 2 L" (~) avec 1 P 1 ,alors f g 2 L¹ (~) et

_I jf gj ~ Mf M MgM_q :

Corollaire 1.4.1 (Inégalité de Schwartz)

Soit f et g deux fonctions mesurable de X dans [0, +oo] . Alors :

I If gl Vf2 V_g2

Théorème 1.4.2 (Inégalité de Minkowski)

Soit pE 11, +o[, et soient f et g des fonction mesurables de x dans [0, +oo] . Alors :

I ((f + 03)' < (I fP)

1 P

#177; (IgP)

1 P

Théorème 1.4.3 (Ficher-Riesz)

L^P est un espace de Banach pour tout 1 < p < 1

Théorème 1.4.4 L^P est un espace vectoriel et 11.16 et une norme pour tout 1 < p < 00.

=

1
p

+

1
q

-- 1 > 0. Alors

Théorème 1.4.5 (Inégalité de Young)

Soient f 2 L^P (118) et g 2 L^q (118) avec 1 < p < 1 ,1 < q < 1 et 1

f *g 2 L^r (118) et 1f *gh,r(R) Mf IILP(R) Iglyi(R) .

Lemme 1.4.1 (de Gronwall)

Soient :

0 une fonction 2 L°° (0, T ), 0 (t) > 0, p.p,t 2 [0, T ]. ,u une fonction 2 L¹ (0, T ) , ,u(t) > 0, p.p, t 2 [0, T ]. On suppose

0 (t) <

t I 0

,u (s) 0 (s) ds + C, p.p.t 2 [0, T ] . (C = constante) .

Alors

t

0 (t) < C exp (I,u (s) ds) , p.p. t 2 [0, T ] .

0

On désigne par (f, g) le produit scalaire dans L² (a), i.e.

(f,g) =I

f (x) g (x) dx,

et également le produit de dualité entre f 2 D'(1) (espace des distributions sur a) et g 2 D(1) (espace des fonctions C 'sur a et a support compact dans a).

Théorème 1.4.6 L^P (Q) est un espace de Banach muni de la norme 11.11p, pour tout 1 < P < 1

.

1.4.2 Espaces de Sobolev

On introduit l'espace H ^m (a) comme étant l'espace des fonctions v 2 L² (a) dont toutes les dérivées partielles d'ordre inférieure ou égale m -prises au sens des distributions sont dans L² (a). Ces espaces jouent dans analyse des équations aux dérivées partielles un role fondamental.

Les espaces de Sobolev d'ordre m : [ H ^m (a)]

Définition 1.4.2 Soit a est un ouvert non vide de Rⁿ, et m 2 N. On appelle espace de sobolev d'ordre m sur a l'espace

Hm (a) =

8 <> >:

u 2 L^2(a) : D^au 2 L^2(a) # calcules au sens des distributions

,Va 2 N^n; ja < m

9 >= ;>

Remarque 1.4.1 Pour m = 1,

H1 (a) =

8 <>>> >>>:

@u u 2 L^2(a) : 2 L^2(a) @xi # calcules au sens des distributions

,1 i ~ m

9 >>>= ;>> >

et la norme associée a ce produit scalaire

0 1 f @ kuMH m(~) = D^au (x)j^2 dx A jaj<mf

1 2

0 1 @ X = MD^auM^2 A 2 jj~m

1 2

: (1.15)

Définition 1.4.3 On introduit ensuite :

H1 ₀(a) = adhérence de D(a) dans H ¹ (a)

= sous-espace deH ¹ (a) des fonction "nulles" sur [1 = @a: (1.16)

Théorème 1.4.7 (Formule de Green) pour tout u 2 H ² (a) , v 2 H ¹ (a) on a

f-

ZLuv dx = ~

ZVu Vv dx - ~

@u v dO (1.17) @~

@u

ot @~

est la dérivée normale de u a 11' dirigée vers l'extérieur .

Theoreme 1.4.8 (de trace)

Soit Q un ouvert borné régulier de classe C¹, ou bien Q = 11:k. On définit l'application trace 7o :

H¹ (Q) n C (Q) -p L² (0Q) n C (0Q) v --> 7₀ (v) = v Ian .

Cette applicatipon 7o se prolonge par continiuité en une application linéaire continue de H¹ (Q) dansL² (0Q) , notée encore 7₀. En particulier, il existe une constante C > 0 telle que, pour toute fonction v 2 H¹ (Q), on a

IlvIlL2(an) _C C IvIH¹(n)

Theoreme 1.4.9 Si Q est une ouvert borné régulier de classe C", ou bien si Q = 118_^1`_F^T, alors Cr (Q) est dense dans H^m (Q)

Theoreme 1.4.10 Si Q est un ouvert régulier de classe C¹, et si m > N2 , alors H^m (Q) est un sousespace de l'ensemble C (Q) des fonction continues sur Q.