Etude d'une équation parabolique

3.3 Applications

Nous appliquons maintenant le résultat abstrait du théorème (3.3.1) a l'équation de la chaleur, et nous prouvons que cette approche variationnelle a bien permis de résoudre l'équation aux dérivées partielles d'origine .

Theoreme 3.3.1 Soit a un ouvert borne regulier de R^N. Soit un temps final T > 0 , une donnée initiale uo E L² (a), et un terme source f E L² (]0, T[ ; L² (a)). Alors l'equation de la chaleur

u = 0 p.p .sur aa x ]0,T[

u (x; 0 ) = uo (x) p.p .dans a

{

~~~~~~~~

(3.10)

Au = f p.p .dans a x ]0, T[

au at

admet une unique solution u E L² (]0,T[; H¹₀ (a))nC ([0 , T] ; L² (a)). De plus, il existe une constante C > 0 (qui ne depend que de a )telle que, pour tout t E [0 , T] ,

Iu (x,t)² dx +

t
_I

0

I1Vu (x, s)1² dxds < C (I uo(x)² dx + _I I f (x, s)² dxds¹. (3.11)

n n

0

12

t

dt dxdt +

Vu Vv 0 dxdt =

f v 0 dxdt . (3.13)

--

T I 0

I

uv

d0

I

T
_I

0

I

T
_I

0

Preuve Nous appliquons le théorème (3.3.1) a la formulation variationnelle (3.4) de l'équation de la chaleur (3.10) : ses hypothèses sont facilement vérifiées avec H = L² (a) et V = H(1^- (a) (en particulier, comme a est borné le théorème (1.1.5) de Rellich affirme que l'injection de H dans V est compacte), il reste a montrer que l'unique solution u E L² (]0, T[;H(1^- (a)) n C ([0 , T] ; L² (a)) de cette formulation variationnelle est bien une solution de (3.10) . Tout d'abord, la condition aux limites de Dirichlet se retrouve par application du théoréme (1.5.8) de trace a u (t) E H(1^- (a) pour presque tout t E ]0, T[, et la condition initiale est justifiée par la continuité de u (t)en t = 0(comme

fonction a valeurs dans L² (a)). Si la solution u est suffisamment régulière (par exemple, si : et Au appartienne par intégration par partie, la formulation variationnelle (3.4) est équivalente a

_I

(^au

at Au -- f) vdx = 0, (3.12)

pour toute fonction v (x) E H(1^- (a) et presque tout temps t E ]0, T[. Par conséquent on déduit de (3.12) que

au
at

Au -- f = 0 p.p. dans ]0, T[ x a.

Si la solution u n'est pas plus régulière que u E L² (]0, T[; N (a)) n C ([0 , T] ; L² (a)) , on obtient tout de même cette égalité mais la justification en est légèrement plus délicate. Conformément a la remarque (3.3.2) le sens précis de (3.4) est

Pour toute fonction v (x) E c_c^l (a) et 0 (t) E C¹_c (]0, T[) . Un résultat classique d'analyse nous dit que l'ensemble des combinaisons linéaires de produit de telles fonctions v (x) 0 (x) est dense dans C¹_c (]0, T[ x a) . On note a = (u; --Vu) la fonction a valeur vectorielles dans R ^N+ldont la divergence en "espace -temps "est : -- Au. L'identité (3.13)nous dit que cette divergence a bien un sens faible et est égale a la fonction f qui appartient a L² (]0, T[; L² (a)), d'on l'égalité presque partout dans ]0, T[ x a. Il faut cependant faire attention que nous avons montré que la différence

au at

-- Au appartient a L^2 (]0, T[; L^2 (a)) , mais pas chaque terme individuellement .

Remarque 3.3.1 l'estimation d'enrgie (3.11) indique que la norme de la solution dans l'espace d'énergie est controlée par la norme des données. Il est a noter que cette norme ne correspond pas toujours a la "vraie"énergie physique (dans le cas de la chaleur l'énergie thermique est proportion-nelle a f u (t, x) dx ). L'inégalité (3.11) été obtenue comme conséquence de (3.6), ce qui camoufle son

~

origine et son interprétation physique. En particulier, ces estimations ou égalités d'énergie justifient le choix de l'espace L² (]0, T[; 1^l₀ (a)) n C ([0 , T] ; L² (a)) pour y chercher des solutions car c'est précisément l'espace d'énergie c'est -á-dire l'espace de régularité minimum dans lequel les égalités ont un sens .