Etude d'une équation parabolique

3.4 Proprietes qualitatives dans le cas parabolique

3.4.1 Comportement asymptotique

Nous étudions le comportement de la solution de l'équation de la chaleur en temps long, c'esta-dire lorsque t vers +oo. Nous allons vérifier que, conformément a l'intuition physique, si le second membre f (x) est indépendant du temps t , alors la solution de l'équation de la chaleur tend asymptotiquement vers la solution (stationnaire) du Laplacien. Nous commençons par examiner le cas de l'équation de la chaleur homogène.

Proposition 3.4.1 Soit aun ouvert borné régulier de R^N. Soit u0 E L² (a) et u la solution du probleme

₈

<>>

>>:

au at

~~~~~~~~

Au = 0 dans ]0, +oo[ x a

u (x; t) = 0 sur ]0, +oo[ x Oa

u (x; 0 ) = uo (x) dans a

Alors , u (t) converge vers zéro dans L² (a) lorsque t tend vers +oo

t --

lim 11u (t)11_.001) = 0

-Eco

Preuve On reprend la démonstration du théoreme (3.3.1) dans le cas f = 0, c'est -á-dire /3k = 0. On obtient facilement que la somme partielle vérifie

IcT (t) -- co" (t)I 1=

E 9=K+^1

_ 912 __2Ait 31 g^.

avec H = L² (a) , ce qui conduit, en prenant k = 0 et r = +oo, et en majorant ,á

Iu (t)11_/1 < 11u011/1 C2Aⁱt

qui tend vers zéro lorsque t tend vers l'infini puisque Al > 0. 3.4.2 Principe du maximum.

Proposition 3.4.2 Soit S2 un ouvert borne regulier de R^N, et un temps final T > 0. Soit uo 2

L² (a) , f 2 L² (]0 , T[ ; L² (a))etu 2 C ([0 , 7¹] ; L² (a)) n L²10, T [ ; H1 0 (a) , l'unique solution de (3.10) si f > Opresque partout dans10,T[ x S2 et uo > 0 presque partout dans a, alors u > Opresque partout dans]0,T[ x ~.

Preuve Soit u = min (u, 0) qui appartient bien a L² (]0, T [ ; H1 0 (a)), pour 0 < t < T

I vu (t) (t) dx = I Vu^- (t)1² dx. (3.14)

~ ~

Un raisonnement similaire a celui qui a permis de démontrer (3.14)montre que, si _@t2 L² (]0 , T[; L² (a)) , alors

_Z

_{0 1}

_Z

@t 1 d ~~u (t) ~~2 dx

@t (t) u (t) dx = @ _A : (3.15)

~

2 dt

Nous admettrons que l'identité (3.15) reste vraie même si :n'appartient pas 6E² (]0, T[; L² (a)) . Par conséquent, en prenant v = u^-dans la formulation variationnelle (3.4)de l'équation de la chaleur on obtient

1 d

2 dt

_{0 1}

_{Z Z Z}

~_~u~² dx ~_~r_u~~_~² dx =

@

_A + fu^-dx,
~ ~ ~
Ce qui donne par intégration en temps

12 / ~

~~u

^~(t)1^2 dx +

Zt 0

Z

Vu^-1^2 dads =

Zt 0

I fu^-dxds + 2 ^1./ ~

~~u

- (0)1^2 dx.

Comme (0) = (uo)^- = 0 on déduit

12 / ~	~~u	~ (t)1^2 dx +	Zt 0	Z	Vu^-1^2 dads < 0.
C'est -á-dire que = 0 presque partout dans 10, T[ x Si .

Théorème 3.4.1 soit uo E L² (Q) et soit u la solution de (3.1) . Alors on a

min {0, infuo} < u (x, t) < max 0, supuo V (x, t) E 12 x ]0, +oo [

n

Preuve On utilise la méthode des troncatures de stampacchia. Soit

K = max 10, sup u0} supposé < oo. On fixe une fonction G E C¹ (IR) telle que

1. 1G^' (s)1 < M Vs E IR

2. G est strictement croissante sur ]0, +oo[

3. G (s) = 0; Vs < 0

et on pose

H (s) =

8 I 0

G (a) do^- Vs E IL

Enfin on introduit la fonction

(ia (t) = I H (u (x; t) -- K) dx.

On démontre aisément que cp a les propriétés suivantes :

1. cp E C ([0, oo[; IR)

2. cp (0) = 0

3. cp > 0 sur[0, oo[

4. cp E C¹ (]0, oo[; IR) et

(t) = I atG (u (x; t) -- K) _at (x; 0 dx = I G (u (x; t) -- K) Au (x; t) dx

n

I= -- SZ

G' (u (x; t) -- K) 1Vu (x; t)r dx < 0

car G (u (x; t) -- k) E 1¹₀ pour t > 0, il en résult que cp < 0 sur ]0, oo[ et par conséquent cp 0. Donc pour chaque t > 0, u (x, t) < K p.p sur Q

u(x;t) = 0 sur ]0,T[ x 9

u (x; 0 ) = u0 (x) dans

₈

<>>

>>:

~~~~~~~~ (3.17)

Au = 0 dans ]0,T[ x

au at