3.4 Proprietes qualitatives dans le cas parabolique
3.4.1 Comportement asymptotique
Nous étudions le comportement de la solution de
l'équation de la chaleur en temps long, c'esta-dire lorsque t vers +oo.
Nous allons vérifier que, conformément a l'intuition physique, si
le second membre f (x) est indépendant du temps t , alors la solution de
l'équation de la chaleur tend asymptotiquement vers la solution
(stationnaire) du Laplacien. Nous commençons par examiner le cas de
l'équation de la chaleur homogène.
Proposition 3.4.1 Soit aun ouvert borné régulier de
RN. Soit u0 E L2 (a) et u la solution du
probleme
8
<>>
>>:
au at
~~~~~~~~
Au = 0 dans ]0, +oo[ x a
u (x; t) = 0 sur ]0, +oo[ x Oa
u (x; 0 ) = uo (x) dans a
Alors , u (t) converge vers zéro dans L2 (a)
lorsque t tend vers +oo
t --
lim 11u (t)11.001) = 0
-Eco
Preuve On reprend la démonstration du théoreme
(3.3.1) dans le cas f = 0, c'est -á-dire /3k = 0. On obtient facilement
que la somme partielle vérifie
|
IcT (t) -- co" (t)I 1=
|
E
9=K+1
|
_ 912 __2Ait
31 g.
|
avec H = L2 (a) , ce qui conduit, en prenant k = 0 et
r = +oo, et en majorant ,á
Iu (t)11/1 < 11u011/1 C2Ait
qui tend vers zéro lorsque t tend vers l'infini puisque Al
> 0. 3.4.2 Principe du maximum.
Proposition 3.4.2 Soit S2 un ouvert borne regulier de
RN, et un temps final T > 0. Soit uo 2
L2 (a) , f 2 L2 (]0 , T[ ; L2
(a))etu 2 C ([0 , 71] ; L2 (a)) n L210, T [ ;
H1 0 (a) , l'unique solution de (3.10) si f > Opresque partout
dans10,T[ x S2 et uo > 0 presque partout dans a, alors u > Opresque
partout dans]0,T[ x ~.
Preuve Soit u = min (u, 0) qui appartient bien a L2
(]0, T [ ; H1 0 (a)), pour 0 < t < T
I vu (t) (t) dx = I Vu- (t)12 dx.
(3.14)
~ ~
Un raisonnement similaire a celui qui a permis de
démontrer (3.14)montre que, si @t2 L2 (]0 , T[;
L2 (a)) , alors
Z
0 1
Z
@t 1 d ~~u (t) ~~2 dx
@t (t) u (t) dx = @ A : (3.15)
~
2 dt
Nous admettrons que l'identité (3.15) reste vraie
même si :n'appartient pas 6E2 (]0, T[; L2 (a))
. Par conséquent, en prenant v = u-dans la
formulation variationnelle (3.4)de l'équation de la chaleur on
obtient
1 d
2 dt
0 1
Z Z Z
~~u~2 dx
~~ru~~~2 dx =
@
A + fu-dx,
~ ~ ~
Ce qui donne par
intégration en temps
|
12
/
~
|
~~u
|
~(t)12 dx +
|
Zt
0
|
Z
|
Vu-12 dads =
|
Zt
0
|
I fu-dxds +
2
1./
~
|
~~u
|
- (0)12 dx.
|
Comme (0) = (uo)- = 0 on déduit
|
12
/
~
|
~~u
|
~ (t)12 dx +
|
Zt
0
|
Z
|
Vu-12 dads < 0.
|
|
C'est -á-dire que = 0 presque partout dans 10, T[ x Si
.
|
|
Théorème 3.4.1 soit uo E L2 (Q) et soit
u la solution de (3.1) . Alors on a
min {0, infuo} < u (x, t) < max 0, supuo V (x, t) E 12 x
]0, +oo [
n
Preuve On utilise la méthode des troncatures de
stampacchia. Soit
K = max 10, sup u0} supposé < oo. On fixe une fonction
G E C1 (IR) telle que
1. 1G' (s)1 < M Vs E IR
2. G est strictement croissante sur ]0, +oo[
3. G (s) = 0; Vs < 0
et on pose
|
H (s) =
|
8
I
0
|
G (a) do- Vs E IL
|
Enfin on introduit la fonction
(ia (t) = I H (u (x; t) -- K) dx.
On démontre aisément que cp a les
propriétés suivantes :
1. cp E C ([0, oo[; IR)
2. cp (0) = 0
3. cp > 0 sur[0, oo[
4. cp E C1 (]0, oo[; IR) et
(t) = I atG (u (x; t) -- K) at (x; 0 dx = I G
(u (x; t) -- K) Au (x; t) dx
n
|
I= --
SZ
|
G' (u (x; t) -- K) 1Vu (x; t)r dx < 0
|
car G (u (x; t) -- k) E 110 pour t > 0,
il en résult que cp < 0 sur ]0, oo[ et par conséquent cp 0.
Donc pour chaque t > 0, u (x, t) < K p.p sur Q
u(x;t) = 0 sur ]0,T[ x 9
u (x; 0 ) = u0 (x) dans
8
<>>
>>:
~~~~~~~~ (3.17)
Au = 0 dans ]0,T[ x
au at
| 
