Etude d'une équation parabolique

Chapitre 3

Equation de chaleur en ri dimension

(Dans RTh)

Dans ce chapitre, nous étudions une équation de la chaleur pour les conditions aux limites de Dirichlet suivante :

₈

<>>

>>:

(3.1)

@ u(x_; t) - Iu(x, t) = f(x, t), avec x E ~

@t

u(x,t) = O, avec x E 8

u(x, 0) = u0(x)_; avec x E ~

oil est un ouvert borné de Rⁿ de frontière 8, t ~ 0 et i le Laplacien dans Rⁿ et la fonction f(x,t) donnée.

Le problème aux limites (3.1) modélise l'évolution de la températures u(x, t) dans un corps thermiquement conducteur qui occupe le domaine ~. Par exemple, la diffusion d'une concentration u dans le domaine , ou bien l'évolution du champ de pression u d'un fluide s'écoulant dans un milieu poreux, ou encore la loi d'un mouvement brownien dans le domaine ~.

Le plan de ce chapitre est le suivant : -démontrer l'existence et l'unicité de la solution de l'équation de la chaleur en utilisant a nouveau le concept de formulation variationnelle.

-Utiliser pour cela des bases hilbertiennes de fonctions propres.

- Etudier certaines propriétés qualitatives des solutions .

3.1 Modélisation et exemple

Soit Q un ouvert borné de R^N de frontière OQ. Pour des conditions aux limites de Dirichlet ce

₈

<>>

>>:

au
at

~~~~~~~~

.

(3.2)

modéle s'écrit

-- Au = f dans Q x R⁺.

u = 0 sur OQ x R⁺.

u (x; 0 ) = u0 pour x E Q

3.2 Existence et unicité

Cette démarche se décompose en trois étapes : premièrement, établir une formulation variationnelle, deuxièment : démontrer l'existence et l'unicité de la solution de cette formulation en utilisant une base hilbertienne de fonctions propres, troisièmement : montrer que cette solution vérifie bien le problème aux limites étudiés

3.2.1 Formulation variationnelle

L'objectif dans cette action est de transformer l'équation aux dérivées partielles dans(3.2) a une équation différentielle ordinaire.

L'idée est d'écrire une formulation variationnelle qui ressemble a une équation différentielle ordinaire du premier ordre. pour cela nous multiplions l'équation de la chaleur (3.2) par une fonction test v (x) qui ne dépend pas du temps t.

^@u@t

(x; t) v (x) -- Au (x; t).v (x) = f (x; t) v (x)

Nous obtenons donc par intégration par partie simple (sans terme de bord)

I

atat (x; t) v (x) dx + I n

V u (x; t) .V v (x) dx = f n

f (x; t) v (x) dx . (3.3)

Comme ni Q ni v (x) ne varient avec le temps t, on peut réécrire cette équation sous la forme

d dt .1 n

u(x;t)v (x)dx + I n

Vu (x; t) Vv (x) dx = f n

f (x; t) v (x) dx.

Exploitant le fait que les variables x et t jouent des role très diférents, nous séparons ces variables en considérant désormais la solution u (t; x) comme une fonction du temps t a valeurs dans un espace de fonctions définies sur Q (meme chose pour f (t; x)). Plus précisément, si l'on se donne un temps final T > 0 (éventuellement égal a + oo), on considère que u est définie par

u : 10, T[ --p H¹₀ (Q) t --p u (t)

et nous continuerons a noter u (x; t) la valeur u (t) (x). Le choix de l'espaceH¹₀ (a) est évidemment dicté par la nature du probleme et peut varier d'un modele a un autre. En général il s'agit de l'espace qui convient pour la formulation variationnelle du probleme stationnaire associé. De même, le terme source f est désormais considéré comme une fonction de t a valeurs dans L² (a).

On introduit alors le produit scalaire de L² (a) et la forme bilinéaire a (co, t) définis par

(co, v)L2 (SI) = I co (x) v (x) dx et a (co, v) = I Vco (x)Vv (x) dx.

En choisissant la fonction test dans l'espaseH¹₀ (a), on peut alors mettre (3.3)sous la forme d'une sorte d'équation diférentielle ordinaire en t. On obtient ainsi la formulation variationnelle suivante : trouver u (t) fonction de]0, T[ a valeur dans H¹₀ (a) telle que

SI SI

{ _d^d_t (u (t) , v)L2 _(SI) + a (u (t) , v) = (f (t) , v)L2 (SI) Vv E H¹₀ (a) , 0 < t < T ~~~~~ .

(3.4)

u (t = 0) =

u0

Definition 3.2.1 Soit X un espace de Hilbert, ou plus generalement, un espace de Banach defini sur a, typiquement :

X = L² (a) , H¹0 (a) , ou C (a)

Soit un temps finale 0 < T < +oo. Pour un entier k > 0, on note C^k ([0, T] ; X) l'espace des fonctions k fois continument derivables de [0, T]dans X. Si on note MvM_x la norme dans X, il est classique que C^k ([0, T] ; X) est un espace de Banach pour la norme

MvMC^k([0,7];X) =

k ^E (^0<tTT ddnt:11) (t) x) m=0 - -