Etude d'une équation parabolique

2.2 Existence d'une solution par la méthode de séparation des variables

On commence par rechercher des solutions multiplicatives non nulles de la forme

(x,t) - U (x)V (t). (2.4)

Ici, de telles solutions vérifient donc :

U (x) V ' (t) = w²U^'' (x) V (t).

Puisque l'on recherche des solutions non nulles, il existe a priori des nombres réels x0 et t0 pour les quels :

U (xo) =6 0 et V (t0) =6 0

On en déduit, quitte a fixer x = x0, puis t = t0, l'existence de constantes Aet telles que l'on ait pour t ~ 0 et 0 x l

U'' (x) = AU (x) (2.5)

V ' (t) = V (t)

En reportant réciproquement dans l'équation, on voit que, en fait :

,i = w²A

On a donc

V ' (x)

V (t)

= w²A (2.6)

et pour tenir compte des conditions aux limites, il faut enfin bien sür que :

U (0) = U (l) = 0

Cela ramène a la résolution de deux équations différentielles ordinaires, une premier ordre et une du second ordre :

Pour (2.5)

U00 (x) U (x)

= A

_p

r2 = ~ == = ~ j~j:

Si A > 0, on pose A = w² = r² ==' r = #177;w, alors :

U (x) = Cle^wx + C2e^~wx. D'après les conditions aux limites on a :

U_x (0,t) = 0

=)

U' (0) = 0

=) cl - c2 = 0,

donc :

U (x) = Ci (e^wx + ewx),

et

U' (1) = wCi (eu)l + e_u)l) = 0 == cl = 0

car

w (eu)t + e_u)t) =6 0

Dans ce cas il y a une infinité de solution

Si A = 0 == r = 0, alors on a :

U00 (x) = 0 =) U^' (x) = a;

d'ofi :

U (x) = ax + b, U' (0) = 0 a = O.

Alors il n'y a pas de solution. Si

A < 0, A = --w² = r²

r = #177;iVIA1

d'ofi :

U (x) = C3 cos (VIA1X) + C4 sin (VIAlx)

U' (x) = --VIA1C3 sin (VI)lx) + VINCI cos (VIAlx) Or l'introduction aux conditions aux limites :

{

U (0, t) = U (0) V (t) = 0 U (1, t) = U (1) V (t) = 0

=)

f u (o) = 0

V (1) = 0

U' (0) = --VIA1C3 sin (0) + VIA1C4 cos (0) = C4 = 0

U' (1) = --VIA1C3 sin (\/1A1/) = 0 = sin (VIAll) = 0,

donc :

VIA1/ = rur A_ in7r 2

/ ) '

d'od :

n ~

U (x) = C3 sin l x

:

Pour (2.6)

17" (t) - w²AV (t) = 0

V (t) V (t)

= w^2A = In (V (t)) = c^2At + k

V (t) = C5e^2m, V (0) = w²AC5e^A° = f (x)

D'ofi

U (x; t) = C3 sin (^n/^7 x ) (C5e^2A1 =

+ 00 E n=1

. (wir _1 con^71- \^24- Cn sin x) e k^i i '.

La condition de Cauchy portant sur u(x, 0) sera formellement vérifiée en choisissant les coefficients 1_n tels que :

f (x) =

00 E n=1

rur Cn sin ( 1 x) .

Un tel développement est celui d'une fonction impaire et 2/--périodique sur R, que l'on obtient en prolongeant la fonction f par imparité sur [-1, /], puis par 2/-périodicité.

La fonction f ainsi prolongée est clairement continue, de classe C¹ par morceaux sur R. On en déduit qu'elle est développable en série de Fourier et que sa série de Fourier converge normalement vers f.

Si l'on pose donc :

U (x, t) =	+ 00 E n=1	(/ wir i w2n27,2t Cn sin x) e /2 )
2 Cn = /			l I 0	f (y) sin ^wri^Ydy,

la série U est normalement convergente sur [0, 1] x [0, +00] , donc continue, et l'on vérifie aisément, a l'aide des théoremes sur les séries de fonctions, qu'une telle fonction est de classe C² sur [0, 1] x [0, +oo], les dérivations s'effectuant terme a terme, ce qui permet de vérifier que la fonction obtenue, qui vérifie les conditions initiale et aux limites, est solution de l'équation de la chaleur.

On notera que la convergence normale de la série, figurant ci-dessus sous le signe intégral, autorise la permutation des symboles de sommation et d'intégration, de sorte qu'en utilisant les formules de trigonométrie usuelle, on obtient les égalités suivantes :

_Z+ l

~l

f (y)

_X+ 1
n=1

cos

( )

mir (x - y") ~ n2~2w2t

j2

e dy

l

1

U (x,t) = l

_X+ 1
n=1

(

tnn(x-y) - n

_ei e

dy.

)

²~²w²t
j2

1

=

2l

f (y)

_Z+ l

~l

Cela s'écrit également avec la formule sommative de Poisson :

1

U (x, t) =

_X+ 1
n=1

(x-y-2nl)²

e~ 4w²t dy.

_Z+ l f (y)

~l

2w/irt

En effectuant alors, dans chaque intégrale, le changement de variables

z = y - 2ml

on obtient enfin la formule suivante :

+1_Z

~1

2w/irt

1

U (x, t) =

(x-z)²

f (z)e 4w²t dz.

On vérifie directement par dérivation sous l'intégrale que U(x, t) est bien solution de (2.1).