Les différentes notions d'inversibilité et applications

2.2 Méthodes de calcul de l'inverse de Moore-Penrose dans Mn,m(C)

Soit A E M_m,_n(C),l'inverse de Moore-Penrose de A est la matrice X telle que X E Mn,m(C) vérifiant la définition de Moore-Penrose .

Proposition 2.5 Soit x E Cⁿ. Alors x⁺ existe si et seulement si x^[*]x =6 0 (produit scalaire), dans ce cas

x+ = 1

_x[*]_xx^[*]

Preuve: 'Evidente.

Th'eor`eme 2.4 Soit A E M<sub>m</sub>,<sub>n</sub>(C). Alors A<sup>+</sup> existe si et seulement si, rg(A) = rg(AA<sup>[*]</sup>) = rg(A<sup>[*]</sup>A),o`u A[^*] = (A^t)^*.

Preuve: On verra plus tard une démonstration de ce théorème voir la Remarque 2.2[p.38].

Th'eor`eme 2.5 Soit A E M_m,_n(C) de rg(A) = n. Alors A⁺ existe si et seulement si, A[^*]A est inversible,dans ce cas A⁺ = (A^[*]A)^-1A^[*].

Exemple 2.1 Soit A =

? ? ? ?

1 0 0 1 1 1

? " # " # ? 2 1 2 -1 ?? , alors A^[*]A = et (A^[*]A)^-1 = 1 donc A^+ = 3 1 2 -1 ^2

" #

-1 2 1

2 -1 1

(A[^*]A)^-1A[^*] = 1

3

Th'eor`emee 2.6 Soit A E M_m,_n(C) de rg(A) = m. Alors A⁺ existe si et seulementt si,AA^[*] est inversible, dans ce cas A⁺ = A^[*](AA^[*])^-1..

Th'eor`emee 2.7 Soit A E Mm,n(C)) et P(x) = (-1)ⁿ(x + -y1x^n-1 + -y2x^n-22 + · · · +-yn-1xx + -y_n)) le
polynàomee caractéristiquee de AA^*. Si =6 0 le plus grand entier tel que -y =6 0,alors A⁺ est donnéee par
A+ = --(-yk)^-1A^*[(AA^*)^k-11 -y1(AA^*)^k-22 +
·
·
· + -yk_2(AA^*) + -yk-1I]]

Exemple 2.2 Considéronss la matrice A de l'exemple précédentt

?

? ? .

?-

_?

1 0_?

A = ? ? 0 1

1 1

Alors le polynàomee caractéristiquee de AA^* est P(x) = (-1)³(x³ -- 4x² + 3x),donc k = 2 et -y2 = 3,par conséquentt

"

_# 2₁₁ 1 ¹¹¹A⁺+== ¹₃A4[AAA^* -4I]]== ₃
1 2 1 3 Le produit et l'inverse de Moore-Penrose

Th'eor`emee 3.1 Soit A une C^*-algèbree et a, b deux élémentss régulierss de A.tel que ab est régulier.. Posons p = bb⁺ , q = a⁺a^+** , r = bb^* et s = a⁺a.. Alors les conditions suivantes sont equivalentes :

1. (ab)⁺ = b⁺a⁺,,

2. a(pq -- qp)b^+* = 0 et a(rs -- sr)b^+* = 0.

3. spqp = qp et srsp = sr.

Preuve: 1 = 2] Remarquons que p, q, r et s sont des éléments hermitiens de A. En tenant compte de la troisième assertion la proposition 2.4 [p12] on aura :

a = aa^*a^+* , b = bb^*b^+* , ab = ab(ab)^*(ab)^+*,
a^+* = aa⁺a^+* , b^+* = bb⁺b^+* , (ab)^+* = ab(ab)⁺(ab)^+*.

En utilisant encore la troisième assertion de la proposition 2.4[p.12] on aura :

a = as,a^+* = aq,b = rb^+*,b^+* = pb^+*.

Supposons que (ab)⁺ = b⁺a⁺. Alors, de (ab)^* = b^*a^* et (ab)^+* = (b⁺a⁺)^* = a^+*b^+*, on obtient

ab = abb^*a^*a^+*b^+* et a^+*b^+* = abb⁺a⁺a^+*b^+*,

d^'o`u

asrb^+* = arsb^+* et aqpb^+* = apqb^+*,

ainsi,

a(pq -- qp)b^+* = 0 et a(rs -- sr)b^+* = 0.

d^'o`u 2.

2 = 3] On a :

a⁺apqb^+*b^* = a⁺aqpb^+*b^* , a⁺arsb^+*b^* = a⁺asrb^+*b^*.

En tenant compte de la troisième assertion de la proposition 2.4[p.12] du fait s = s^* et p = p^* on aura :

spqp = a⁺(aa⁺a^+*)b(b⁺b^+*b^*) = a⁺a^+*bb⁺ = qp.
srsp = (a⁺aa^*)a^+*)a^+*(bb^*b^+*b^* = a^*a^+*bb^* = sr.

3 = 1] De s = s^* et p = p^* on aura :

a⁺abb⁺a⁺a^+*b^+*b^* = aa^+*bb⁺,
a⁺abb^*a^*a^+*b^+*b^* = a^*a^+*bb^*,

d^'o`u

(aa⁺a)bb⁺a⁺a^+*(b^+*b^*b^+*) = (aa⁺a^+*)(bb⁺b^+*),
(aa⁺a)bb^*a^*a^+*(b^+*b^*b^+*) = (aa^*a^+*)(bb^*b^+*),

En utilisant encore la troisième assertion de la proposition 2.4[p.12] et du fait a⁺,b⁺ sont les inverses de Moore-Penrose de a, b respectivement on aura :

ab(b⁺a⁺)(b⁺a⁺)^* = (b⁺a⁺)^*,
ab(ab)^*(b⁺a⁺)^* = ab,