Les différentes notions d'inversibilité et applications

2 Moore-Penrose inverse dans C"- algèbre

2.1 Définitions

Définition 2.1 Un élément a E A d'une C^*-algèbre est Moore-Penrose inversible s'il existe x E A tel que :

xax = x , axa = a, (ax)^* = ax, (xa)^* = xa. Remarque 2.1 Si A une C^*-algèbre d'unité e, alors

1. e⁺ = e

2. si a E Inv(A), alors a⁺ = a^-1.

Un tel élémnent x quand il existe il sera noté par a⁺, l'ensemble des éléments de A qui admettent un inverse de Moore-Penrose sera notée par A⁺.

Proposition 2.1 Soit a, x deux éléments d'une C^*-algèbre A. Alors

1. a = axa et (ax)^* = ax a = x^*a^*a.

2. a = axa et (xa)^* = xa a = aa^*x^*.

3. x = xax et (ax)^* = ax x = xx^*a^*.

4. x = xax et (xa)^* = xa x = a^*a^*x.
Preuve:

1. =] On a : a = axa = (ax)^*a = x^*a^*a.

2. =] Si a = x^*a^*a, alors ax = (ax)^*(ax), ainsi (ax)^* = (ax)^*(ax),d⁰o`u (ax) = (ax)^*. On a : a = x^*a^*a = (ax)^*a = (ax)a.

Idem pour 2,3,4.

Contrairement a` l'inverse généralisé, l'inverse de Moore-Penrose quand il existe il est unique. Th'eor`eme 2.1 Si A une C^*-algèbre, alors l'inverse de Moore-Penrose est unique.

Preuve: Soient b, b^' deux inverses de Moore-Penrose de a.

Il suffit de montrer : b^'a = ba et ab^' = ab car

b^'ab^' = b^'ab = bab,donc b^' = b.

On pose p = ba,q = ab, p^' = b^'a et q^' = ab^',

comme a = aba = ab^'a,alors p = p, (p⁰)^* = p0, q^* = q et (q⁰)^* = q^'. Alors

p^'p = b^'aba = b^'a = p^' et pp^' = bab^'a = ba = p.

de plus

p0 = (p⁰)^* = p⁰p = p^*(p⁰)^* = pp^'.

donc

p0 = p^'p = pp^' = p.

d'o`u b^'a = ba. De màeme,

q^'p = abab^' = ab^' = q^' et q^'q = ab^'ab = ab = q.

de plus

q' = (q⁰)^* = (q⁰)^*q^* = q^'q.

donc

q' = qq^' = q^'q = q.

d'o`u ab^' = ab.

Proposition 2.2 Soit a un élément d'une C^*-algèbre A,alors les conditions suivantes sont équiva-

lentes :

1. x est un inverse de Moore-Penrose de a.

2. a = x^*a^*a et x = a^*x^*x.

3. a = aa^*x^* et x = xx^*a^*.

Preuve: On applique la proposition 2.1 [p.11] et la définition de l'inverse de Moore-Penrose.

Proposition 2.3 Si a admet un inverse de Moore-Penrose, alors

1. (a⁺)⁺ = a.

2. (a⁺)^* = (a^*)⁺.

Preuve:

1. On remplace x par a⁺ et on applique la définition une fois de plus.

2. On pose x = (a⁺)^*, alors

(a) a^*xa^* = (aa⁺a)^* = a*

(b) xa^*x = (a⁺aa⁺)^* = (a⁺)^* = x

(c) (a^*x)^* = x^*a = a⁺a = (a⁺a)^* = a^*x

(d) (xa^*)^* = aa⁺ = (aa⁺)^* = (a⁺)^*a^* = xa^*

donc x = (a^*)⁺.

Remarque 2.2 Les assertions suivantes sont équivalentes

1. x est un inverse de Moore-Penrose de a.

2. a^* = a^*ax et x = x^*xa.

3. a^* = xaa^* et x = axx^*.

Proposition 2.4 Soit a un élément d'une C^*-algèbre A, alors les conditions suivantes sont équivalentes :

1. x est un inverse de Moore-Penrose de a.

2. a^* = xaa^* et x = xx^*a^*.

3. a = aa^*x^* et x = axx^*.

4. a = a^*ax et x = a^*x^*x.

5. a = x^*a^*a et x = x^*xa.

Preuve: La proposition 2.1[p.11] et la remarque précédente.

Le théorème suivant va nous donner une condition nécessaire et suffaisante pour qu'élément a admet un inverse de Moore-Penrose.

Th'eor`eme 2.2 Un élément a dans une C^*-algèbre est Moore-Penrose inversible si et seulement si a est régulier.

Preuve:

Si a est régulier,alors il existe b E A tel que aba = a et bab = b.

Comme p = ba et q = ab sont auto adjoints et idempotents (voir proposition 2.1 [p.38]) ,alors u = p⁺p et v = qq⁺ existent. Or ap = aba = a donc au = apu = app⁺p = ap = a d^'o`u qa = a donc va = vqa = qq⁺qa = qa = a et parsuite on vérifie que l'élément x = ubv est l'inverse de Moore-Penrose de a.

Reciproquement,chaque a E A⁺ est régulier.

Th'eor`eme 2.3 Soit a un élément d'une C^*-algèbre unitaire A,les conditions suivantes sont équivalentes :

1. a admet un inverse de Moore-Penrose.

2. a est régulier.

3. aA est fermé. Preuve: 1 2 3 déj`a fait.