Chapitre II
Inverse généralisé dans une
algèbre
1 Inverse généralisé dans une
algèbre
Définition 1.1 Soit A une
algèbre unitaire .
On dit que a E A est régulier si a E
aAa : c - a` - d il existe b E A tel que a
= aba, dans ce cas on dit que b est l'inverse
généralisé de a. On note par
Aà l'ensemble des éléments
de A qui admettent un inverse généralisé.
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Exemple 1.1 Soit A = M2(C)
l'algèbre des matrices a` coefficients dans C et a
= Alors a admet un inverse généralisé a`
savoir a car a est idempotent.
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!
1 1 .
0 0
|
Remarque 1.1 1. L'inverse
généralisé n'est pas unique, en effet : l'inverse a`
gauche ou a` droite
est un inverse généralisé.
2. L'inverse usuel est un inverse
généralisé.
3. Soit A une C*-algèbre, si a
est régulier d'inverse généralisé b alors
a* est régulier d'inverse
généralisé b*.
Proposition 1.1 Si b est l'inverse
généralisé de a, alors
1. ab et ba sont idempotents.
2. abA = aA ;
(e--ba)A=a-1(0) ; Aba
= Aa et A(e -- ab) = a_1(0).
o`u a-1(0) = {x E A : ax =
0} et a_1(0) = {x E A : xa =
0}.
Preuve:
1. On a : (ab)2 = abab = ab
et (ba)2 = baba = ba.
2. Si x E aA == ?y E A tel
que x = ay et puisque a = aba, alors x
= abay = abx == x E abA, or bA
C A car bA est un ideal de A.
Donc abA C aA d'o`u abA
= aA.
Idem Aba = Aa.
II.1 Inverse généralisé dans une
algèbre
3. Montrons que (e - ba)A =
a-1(0).
On a :Vx E A,ax = abax alors
a(e - ba)x = 0 == (e -
ba)x E a-1(0).
Donc (e - ba)A c
a-1(0).
Inversement,on a ax = 0 bax = 0.
car ax = 0 =' bax = 0 et bax = 0 =
abax = 0 donc ax = 0
alors six E A tel que ax = 0 donc
x = (e--ba)x, et donc x E
(e--ba)A donc a-1(0) C
(e--ba)A.
Remarque 1.2 Soient A une algèbre
normée et a E A. On associe a` a l'opérateur de
multiplication a` gauche
La : A -? A
x '-? ax
l'opérateur de multiplication a`
droite
Ra : A -? A
x '-? xa
les deux opérateurs La et Ra
sont continues car:
ILaI = kaI et
IRaI = kaI.
donc a-1(0) = L-1
a = {x E A : ax = 0} et
a_1(0) = R-1
a = {x E A : xa = 0} sont
fermés.
Proposition 1.2 Soient A une algèbre
normée et a E A. si a est régulier alors aA et Aa sont
fermés.
Preuve: Si a est régulier, alors
a = aba. On pose p = ba et q =
ab.
Alors aA = qA = (e -
q)-1(0) et Aa = (e - p)-1(0)
,comme les applications x '-? (e - q)x et
x F-? x(e - p) sont continues,donc aA
et Aa sont fermés.
Proposition 1.3 Soit A une algèbre
unitaire et a E A. Alors a est régulier, si et seulement si aba
- a est régulier pour un b E A.
Preuve: Si a est régulier,alors
il existe b E A tel que :aba - a =
0,d'o`u aba - a est
régulier car 0 l'est.
Inversement , si aba - a est régulier
alors il existe c E A tel que
(aba - a)c(aba - a)
= aba - a. On a donc :
a = aba - (aba -
a)c(aba - a) = a[ba --
(ba -- e)c(ab -- c)]a =
a(b -- c + bac + cab --
bacab)a.
d'o`u a est régulier.
Il est bien connu que si a, b E
Inv(A), alors (ab)-1 =
b-1a-1,voyons ce qui se passe pour
l'inverse généralisé.
Th'eor`eme
1.1 Soient A une algèbre et a, b deux
éléments réguliers de A d'inverses
généralisés respectifs a',
b'. Posons p = bb' et q =
a'a,alors les conditions suivantes sont
équivalentes :
1. b'a' est un
inverse généralisé de ab.
2. a(pq -- qp)b =
0.
3. qp est idempotent.
Preuve:
1. 1 = 2].Remarquons que a = aq et b
= pb,donc :
abb'a'ab =
ab car b'a' est un inverse
généralisé de ab ,d'o`u apqb =
abb'a'ab = ab =
aqpb. Ainsi, apqb = aqpb , c-`a-d
a(pq - qp)b = 0.
2. 2 = 3] Si a(pq - qp)b =
0,alors a'a(pq -
qp)bb' = 0, ou encore q(pq -
qp)p = 0,donc qpqp -
q2p2 = 0.
Ainsi, (qp)2 = qp car p, q
sont idempotents.
3. 3 = 1] Si (qp)2 = qp. En
multipliant a` gauche par a et a` droite par
b, on obtient aqpqpb = aqpb. d'o`u,
aa'abb'b =
aa'abb'b, donc
abb'a'ab = ab , et
par suite b'a' est l'inverse
généralisé de ab.
Remarque 1.3 Dans le théorème
précédent la condition pq = qp est suffisant pour dire
que b'a' est l'inverse
généralisé de ab,mais pas nécessaire comme le
montre le contre exemple suivant :
Si A = M2(C). On
prend
a =
\ \
1 1 1 0
et b = ,
0 0 -1 0
alors a2 = a =
a' = q, b2 = b =
b' = p et ab = 0 = qp,
donc qp est idempotent, le théorème implique
que b'a' est un inverse
généralisé de ab, mais pq =6 pq.
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