Les différentes notions d'inversibilité et applications

2 Rayon spectral

Définition 2.1 Le rayon spectral de a est donné par :r(a) = sup{IA , A E ó(a)}.

Th'eor`eme 2.1 r(a) = limn.~8kanI 1 n= infnEN kaⁿk n 1 .

Proposition 2.1 Soit x, y E A une algèbre normée et a E C.

1. 0 < r(x) = kxI.

2. r(ax) = IaIr(x).

3. r(x^k) = r(x)^k, pour tout entier k non nul.

4. r(xy) = r(yx).

5. si xy = yx alors

- r(xy) r(x)r(y).

- r(x + y) < r(x) + r(y).

6. Si A est commutative, alors x -+ r(x) est une semi norme d'algèbre.

7. L'application x - r(x) est semi continue superierement.

Définition 2.2 un élément x E A o`u A une C^*-algèbre : - est normal si x^*x = xx^*.

- est unitaire si x^*x = xx = e.

Proposition 2.2 Soit A une algèbre de Banach unitaire, alors pour tout a E A. On a :

1. QA(a) est un compact de C.

2. Le plus petit disque fermé de centre 0,contenant aA(a) a pour rayon r(x). Th'eor`eme 2.2 Soit A une algèbre de Banach unitaire et x E A.

1. La série _>n>0 Aⁿxⁿ (o`u A E C) considérée comme série entière en A a` coefficients dans A admet r(x) comme rayon de convergence.

1

2. Si r(x) < 1,alors e - x est inversible et on a : (e - x)^-1 = > n~0 xn.

3. L'ensemble Inv(A) est un ouvert de A.

Th'eor`eme 2.3 Soient A une C^*-algèbre et x E A.

1. Six est normal,alors r(x) = IxI.

2. Si x est unitaire,alors a(x) = {A E C : Al = 1}.

3. Six est auto adjoint,alors a(x) c [--lxl, lxl].

3 Elémént positif d'une C*-algèbre

Définition 3.1 Soient A une algèbre de Banach munie d'une involution et x E A. On dit que x est positif si x est auto adjoint et a(x) c [0, +oo[ ; On écrit x > 0.

Lemme 3.1 Soit A une C^*-algèbre unitaire, alors

1. Un élément x E A est positif si et seulement si e - x

kxkk = 1.

2. Si x = x^* , lxl < 1 et le - xl < 1, alors x est positif.

Th'eor`eme 3.1 Si A est une C^*-algèbre unitaire et B une sous C^*-algèbre de A,alors : p(a) est connexe = aA(x) = cTB(x).

Proposition 3.1 Soient A une C^*- algèbre et B une sous C^*- algèbre de A , alors un élément x E B est inversible dans A si, et seulement si, il est inversible dans B.

Th'eor`eme 3.2 Soient A une C^*-algèbre et x E A, alors les conditions suivantes sont équivalentes :

1. x est positif.

2. x = yy pour un y E A.

Th'eor`eme 3.3 Soit A une algèbre de Banach unitaire. Alors

1. Pour toute fonction f E H(a(x)),

a(f(x)) = f(a(x))

pour tout x E A.

2. Si de plus A est une C^*-algèbre et x est normal, alors a(f(x)) = f(a(x)) pour toute f E C(a(x)).

Th'eor`eme 3.4 [Fuglede] Soient a et b deux éléments d'une C^*-algèbre. Si a est normal et ab = ba,alors a^*b = ba^*.