2 Rayon spectral
Définition 2.1 Le rayon spectral de a
est donné par :r(a) = sup{IA , A E
ó(a)}.
Th'eor`eme
2.1 r(a) = limn.~8kanI 1
n= infnEN kank n
1 .
Proposition 2.1 Soit x, y E A une
algèbre normée et a E C.
1. 0 < r(x) = kxI.
2. r(ax) =
IaIr(x).
3. r(xk) =
r(x)k, pour tout entier k non
nul.
4. r(xy) =
r(yx).
5. si xy = yx alors
- r(xy)
r(x)r(y).
- r(x + y) <
r(x) + r(y).
6. Si A est commutative, alors x -+
r(x) est une semi norme d'algèbre.
7. L'application x - r(x) est semi
continue superierement.
Définition 2.2 un
élément x E A o`u A une
C*-algèbre : - est normal si x*x
= xx*.
- est unitaire si x*x = xx
= e.
Proposition 2.2 Soit A une algèbre de
Banach unitaire, alors pour tout a E A. On a :
1. QA(a) est un compact de
C.
2. Le plus petit disque fermé de centre
0,contenant aA(a) a pour rayon
r(x).
Th'eor`eme 2.2
Soit A une algèbre de Banach unitaire et x E
A.
1. La série >n>0
Anxn (o`u A E C)
considérée comme série entière en A a`
coefficients dans A admet r(x) comme rayon de
convergence.
1
2. Si r(x) < 1,alors e -
x est inversible et on a : (e - x)-1 =
> n~0 xn.
3. L'ensemble Inv(A) est un ouvert de
A.
Th'eor`eme
2.3 Soient A une C*-algèbre et x E
A.
1. Six est normal,alors r(x) =
IxI.
2. Si x est unitaire,alors a(x) = {A
E C : Al = 1}.
3. Six est auto adjoint,alors a(x) c
[--lxl, lxl].
3 Elémént positif d'une
C*-algèbre
Définition 3.1 Soient A une
algèbre de Banach munie d'une involution et x E A. On dit que x
est positif si x est auto adjoint et a(x) c [0, +oo[
; On écrit x > 0.
Lemme 3.1 Soit A une
C*-algèbre unitaire, alors
1. Un élément x E A est positif si et
seulement si e - x
kxkk = 1.
2. Si x = x* ,
lxl < 1 et le - xl < 1,
alors x est positif.
Th'eor`eme
3.1 Si A est une C*-algèbre unitaire et
B une sous C*-algèbre de A,alors :
p(a) est connexe = aA(x) =
cTB(x).
Proposition 3.1 Soient A une
C*- algèbre et B une sous C*-
algèbre de A , alors un élément x E B est
inversible dans A si, et seulement si, il est inversible dans B.
Th'eor`eme
3.2 Soient A une C*-algèbre et x E
A, alors les conditions suivantes sont équivalentes :
1. x est positif.
2. x = yy pour un y E A.
Th'eor`eme
3.3 Soit A une algèbre de Banach unitaire. Alors
1. Pour toute fonction f E
H(a(x)),
a(f(x)) =
f(a(x))
pour tout x E A.
2. Si de plus A est une
C*-algèbre et x est normal, alors
a(f(x)) = f(a(x)) pour
toute f E C(a(x)).
Th'eor`eme
3.4 [Fuglede] Soient a et b deux éléments
d'une C*-algèbre. Si a est normal et ab =
ba,alors a*b =
ba*.
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