Les différentes notions d'inversibilité et applications

I.2 Rayon spectral

1.4 Spectre d'un élément d'une algèbre .

Définition 1.5 Soient A une C^*-algèbre d'unité e et a E A, le spectre de a est défini par cTA(a) =

{A E C : x - Ae ?6 Inv(A)}.

L'ensemble résolvant de a est défini par p(a) = {A E C : x - Ae E Inv(A)}. L'application résolvante de a notée RA(a) = (Ae - a)^-1, avec A E p(a).

Proposition 1.2 Soit A une C^*-algèbre, alors pour tout élément x auto adjoint on a : aA(x) C R.

Preuve: Soit (a + i/3) E aA(x), avec a, /3 E R.

VA E R :a + l(A + /3) E aA(x + Aie).

d'autre part :Ia + i(A + /3)1 = kx + AieI

= a² + (A + /3)² = Ix + AieI² = Ix + AiekIx^* - AieI = Ixx^* + A²eI = kxx^*I + A² = IxI² + A². Donc 2a/3 < IxI² - a² - /3²,VA E R.

ceci, n'est vraie que si /3 = 0, ainsi o-A(x) C R pour tout élément auto adjoint.

Proposition 1.3 Soit A une algèbre de Banach unitaire muni d'une involution,alors pour tout x E A et pour tout A E C :

- a(Ae -- x) = A -- a(x).

- a(x^*) = ó(x).

- a(xy) U {0} = a(yx) U {0}.