Les différentes notions d'inversibilité et applications

II.4 L'inverse de Moore-Penrose des éléments hermitiens :

En utilisant encore la troisième assertion de la proposition 2.4[p.12],on obtient

(ab)⁺ = b⁺a⁺.

Th'eor`eme 3.2 Sous les notations du théorème 3.1,les assertions suivantes sont équivalentes :

1. (ab)⁺ = b⁺a⁺,

2. b⁺(qp _ pq)a^* = 0 et b⁺(sr _ rs)a^* = 0.

3. pqps = pq et psrs = rs.

Preuve: La preuve est similaire du théorème 3.1.

Th'eor`eme 3.3 Sous les notations du théorème 3.1,les assertions suivantes sont équivalentes :

1. (ab)⁺ = b⁺a⁺,

2. b^*(q⁺p - pq⁺)a⁺ = 0 et b^*(sr⁺ - r⁺s)a⁺ = 0.

3. pq⁺ps = pq⁺ et psr⁺s = r⁺s.

Preuve: la preuve est similaire du théorème 3.1.

Th'eor`eme 3.4 Sous les notations du théorème 3.1, les assertions suivantes sont équivalentes :

1. (ab)⁺ = b⁺a⁺,

2. a^+*(pq⁺ - q⁺p)b = 0 et a^+*(r⁺s - sr⁺)b = 0.

3. spq⁺p = q⁺p et sr⁺sp = sr⁺.

Preuve: La preuve est similaire du théorème 3.1.