Les différentes notions d'inversibilité et applications

Chapitre V

Eléments qui coummutent avec l'inverse de

Moore-Penrose

1 Préliminaire

Dans tout ce chapitre A désigne une algèbre unitaire.

Lemme 1.1 Soit a E A simplement polaire dont a l'idempotent de correspondant a` A = 0. Alors

a^-1(0) = a^ðA , aA = (a^ð)^-1(0)
a_1(0) = Aa , Aa = a^ð _-1(0),

et A = a^-1(0) aA = a_1(0) Aa avec Aa et aA sont fermés.

Preuve: On démontre seulement le résultat pour a^-1(0) et aA, le reste est similaire.

Soit ax = 0. Alors a^ðx = (e_a^Da)x = x et a^-1(0) C a^ðA. Six = a^ðz avec z E A ,alors ax = aa^ðz = 0 et a^ðA C a^-1(0).

Soit x = au pour u E A. Alors a^ðx = a^ðau = 0,et aA C (a^ð)^-1(0).

Soit a^ðx = 0. Alors (e - aa^D)x = 0, et x = aa^Dx ,d^'o`u (a^ð)^-1(0) c aA.

Comme a est idempotent, alors A = a^ðA (a^ð)^-1(0).

Lemme 1.2 Soit a E A⁺. Alors

a+ = a^*(a^*a + (a^*a)^ð)_¹ = a^*(aa^* + (aa^*)^ð)_¹. (V.1)

a^*A_¹ = a⁺A^-1 A_¹a^* = A^-1a⁺ (V.2)

a^*_1(0) = (a+)-1(0) a* -1(0) = a⁺_-1(0) (V.3)

Preuve: Remarquons d'abord que pour tout a E A⁺, a(a^*a)" = 0 et (a^*a)"a^* = 0 car a(a^*a)" = a(e -- a⁺a) = 0 et pour la 2 eme on prend l'adjoint de la premiere d⁰o`u par théorème 2.2[p.38] on a : a⁺ = (a^*a)^Da^* = (a^*a + (a^*a)¹)^-1(e -- (a^*a)")a^* = (a^*a + (a^*a)¹)^-1a^*.

idem pour l'autre.

2 Eléments qui commutent avec son inverse de Moore-Penrose

Th'eor`eme 2.1 Soit a E A⁺. Alors a⁺a = aa⁺ si et seulement si a est simplement-polaire avec a est auto adjoint et

ae = (a^*)^ð = a^*a)^ð(= (aa^*)^ð (V.4)

.

Preuve: Si a est simplement polaire alors a^* l'est avec (a^*)^1r = (a¹)^*. Si p = a' est auto adjoint, alors (a^*a)p = p(a^*a)e = 0 et

(a^*a + p) = (a^* + p)(a + p) E A^-1.

D'après le corollaire 4.3[p.25], a^*a est simplement polaire et (a^*a)' = a'. De màeme on démontre que (aa^*)" = a'),et par théorème 2.2[p.38], on a : a E A⁺ et

a⁺a = (a^*a)^Da^*a = e -- (a^*a)" = e -- (aa^*)" = aa^*(aa^*)^D = aa⁺.

Inversement, soit a E A⁺ avec a⁺a = aa⁺. Comme a⁺ = a⁺aa⁺ et a = aa⁺a,alors a^D existe et a^D = a⁺. De plus aa' = a(e -- a^Da) = a(e -- a⁺a) = 0 et a est simplement-polaire. Donc

(a^ð)^* = (e -- a^Da)^* = (e -- a⁺a)^* = e -- (a⁺a)^* = e -- a⁺a = a". Corollaire 2.1 Soit a E A alors les conditions suivantes sont équivalentes :

1. a E A⁺ et a⁺a = aa⁺ ;

2. a E A⁺ n A^D et a⁺ = a^D ;

3. a est simplement polaire et (a^*)' = a^e ;

4. a est simplement polaire et a^r = (a^*a)" (respectivement a^e = (aa^*)');

5. a E A⁺ et (a^*a)" = (aa^*)" ;

Corollaire 2.2 Soit a E A⁺. Alors a⁺a = aa⁺ si et seulement si

a⁺ = f(a).

avec f une fonction holomorphe définie sur un voisinage de a(a).

Preuve: Si a⁺a = aa⁺, alors a⁺ = a^D donc a^D = f(a) par le corollaire précédent et 5.7[p.27] Inversement,si a⁺ = f(a), pour une fonction définie sur un voisinage de a(a), d'après la propriété de la fonction f, alors a⁺ commute avec a.

Remarque 2.1 Si a⁺ commute avec a, alors

ax = xa = a⁺x = xa⁺ avec x E A.

Th'eor`eme 2.2 Soit a E A⁺, alors les conditions suivantes sont équivalentes :

1. a⁺a = aa⁺ ;

2. a²a⁺ = a = a⁺a² ;

3. (a^*a)^ða = 0 = a(aa^*)^ð ;

4. a^-1(0) = a^*_1(0) ;

5. a_1(0) = a* -1(0) ;

6. aA = a^*A ;

7. Aa = Aa^* ;

8. aA^-1 = a^*A_¹ ;

9. A_¹a = A_¹a^* ;

10. a E a⁺A fl Aa⁺ ;

11. a E a⁺A^-1 fl A^-1a⁺ ; Preuve:

les 3 premièrs assertions sont équivalentes.

Montrons que 1 implique 4-6, d'après le théorème 2.1[p.44] a est simplement polaire dont a l'idempotent correspondant a` A = 0 est auto adjoint. Par le lemme 1.1[p.43].

a^-1(0) = a^ðA = (a^ð)^*A = (a^*)^ðA = a^*_1(0).
aA = (a^ð)^-1(0) = (a^ð)^*_1(0) = ((a^*)^ð)_¹(0) = a^*A.

Pour les équations a_1(0) = a* -1(0) et Aa = Aa^* ils s'obtiennent en prenant l'adjoint, ce qui prouve 4, 5et6. Montrons 11, on a : a = a²a⁺ = (a + a^ð)²a⁺ et a + a E A^-1 par le corollaire 4.3[p.25] 11; Idem a = a⁺(a + a^ð)².

Pour 10 on l'obtient de 11 , et 8 et 9 on l'obtient de 11 .

Inversement. Montrons que chaque conditions de 4 a` 11 implique 2.

Remarquons que 8 et 9 sont équivalentes (on prend l'adjoint), eux màeme implique 9; 9 de son tour
implique 10. Les conditions 6 et 7 sont équivalentes (on prend l'adjoint), eux màeme implique 10;

V.3 Produit des éléments qui commutent avec l'inverse de Moore-Penrose

De 10 on deduit 2 : en effet, si a = ua⁺, alors a - a²a⁺ = u(a⁺ - a⁺aa⁺) = 0; Si a = a⁺v, alors a - a⁺a² = (a⁺ - a⁺aa⁺)v = 0. Les conditions 4 et 5 sont équivalentes (on prend l'adjoint) eux màeme implique 2 :e - aa⁺ E (a⁺)^-1(0) = (a^*)_¹(0) = a^-1(0), idem e - a⁺a E a_1(0) par lemme 1.2[p.43] et 5.