Les différentes notions d'inversibilité et applications

3 Produit des éléments qui commutent avec l'inverse de Moore-Penrose

On note par A+ com les éléments de A⁺ avec a⁺a = aa⁺. Alors A+ com n'est pas stable par la mutltiplication dans A.

Exemple 3.1 Si A = C3×3
	0	1	0		1	0	2		0	2	0
A = ?	1	0	0	, B = ?	0	2	0	, AB = ?	1	0	2
?	0	0	0	?	2	0	1	?	0	0	0

Alors A,B E A+ com et A⁺ = A et B⁺ = B^-1. Mais les matrices (AB)⁺,(AB)(AB)⁺ et (AB)⁺(AB)

?

sont égales respectivement a` 1 10

0 5 0

2 0 4

0 0 0

? , ? ?

1 0 0

0 1 0

0 0 0

5

, 10

1 2

0 1 0

2 0 4

et (AB)(AB)⁺ =6 (AB)⁺(AB).

?

Th'eor`eme 3.1 Supposons que a, b E A+ com et ab = ba. Alors ab E A+ com et (ab)⁺ = a⁺b⁺ = b⁺a⁺.

Preuve: D'après le corollaire 2.1[p.44],a⁺ = a^D et b⁺ = b^D. L'ensemble {a, b, a^D, b^D} est commutative, et ab est Drazin inversible avec (ab)^D = a^Db^D = b^Da^D. On vérifie que ab est simplement polaire avec a est l'idempotent correspondant a` A = 0 et a est auto adjoint, en effet :

(ab)(ab) = ab(e - (ab)(ab)^D) = ab(e - aa^Dbb^D)

= ab - (a²a^D)(b²b^D) = ab - ab

?

? ?

?

= 0

Ce qui montre que ab est simplement polaire. Par le théorème 1.2[p.20], l'idempotent correspondant a` A = 0 a = e - a^Da et b = e - b^Db sont auto adjoint,donc a^Da et b^Db sont auto adjoint, et

V.4 Continuité de Moore-Penrose

((ab)(ab)^D)^* = (aa^Dbb^D)^* = (bb^D)^*(aa^D)^* = bb^Daa^D = (ab)(ab)^D. Ainsi (ab)" = e -- (ab)(ab)^D est auto adjoint,ab E A⁺com et

(ab)⁺ = (ab)^D = a^Db^D = a⁺b⁺.

4 Continuité de Moore-Penrose

Th'eor`eme 4.1 Soit A une algèbre de Banach a_n,a E A^D avec a_n a. Alors

a^D_n --} a^D <=> a_n^Da_n-- a^Da.

Preuve:

On suppose que a^D_n a^D. Alors a_n ^Da_n a^Da. D'après la continuité de la multiplication dans A.

Invesement, si a_n ^Da_n a^Da, alors

a^D_n = (a_n + p_n)^-1(e -- p_n) --} (a + p)⁺¹(e -- p) = a^D, avec p_n = e - aD n a_n,p = e-- a^Da l'idempotent de a_n et a a` 0.

Th'eor`eme 4.2 Soit A une C^*-algèbre , et a_n,a E A⁺ avec a_n a. Alors les conditions suivantes

sont équivalentes :

1. a_n⁺ a⁺,

2. sup Ila_n⁺ II < o.

3. a_n⁺a_n-- a⁺a

4. _ana+n aa⁺

Preuve: 1 <=> 2] L'implication directe est claire. Pour l'implication inverse on utilise l'identité :
b⁺ -- a⁺ = --b⁺(b -- a)a⁺ + (e -- b⁺b)(b^* -- a^*)(a⁺)^*a⁺ + b⁺(b⁺)^*(b^* -- a^*)(e -- aa⁺).

Posons b = a_n,alors Ia⁺_n -- a⁺k < 3 maxfila⁺11², 1a⁺_n 1²}Ia_n -- all.

1 <=> 3] L'implication direct d'après la continuité de la multiplication. Pour l'implication inverse d'après
le théorème 2.2[p.38],q_n = e -- a⁺_n a_n,q = e-- a⁺a sont l'idempotent de simplement polaire a^*_na_n,a^*a.De
a^*_n a^*, nous avons a_n^*a_n a^*a,et d'après le théorème précédent, q_n q = (a^*_na_n)^D (a^*a)^D, d^'o`u

a⁺_n = (a^*_na_n)^Da^*_n (a^*a)^Da^* = a⁺.

1 <#> 4] Idem.

5 Applications

5.1 Inverse généralisé d'un opérateur non borné

Soit B un espace de Banach complexe et notons par C(B) l'ensemble des opérateurs fermés a` domaine dense dans B et a` valeurs dans B,si A E B on notera par D(A) son domaine ,N(A) son noyan et R(A) son image. L(B) dénotera le sous ensemble des éléments bornés de C(B).

Définition 5.1 On appelle operateur lineaire non borne de B vers B toute application lineaire A : D(A) C B B definie sur un sous espace vectoriel de D(A) de B a` valeurs dans B. D(A) est le domaine de l'operateur A.

On dit que A est bornee s'il existe une constante c > 0 telle que

11A(u)11 c11u11 Vu E D(A)

Définition 5.2 Un operateur A dont D(A) = B est ferme si :

V(u_n) C D(A) :(lim u_n = u et lim Au_n = v) alors u E D(A) et Au = v. Un operateur A est fermable si : (u_n) C D(A), u_n -} 0 et Au_n y alors y = 0.

Lemme 5.1 [Neubauer] Soit A, B E C(B). Alors si B E C(B) et si R(A) fl N(B) = {0}, R(A) est ferme.

Définition 5.3 Soit A E C(B). Alors B E C(B) est un inverse generalise de A si

R(A) C D(B),R(B) C D(A)
Vu E D(A), Au = ABAu,
Vu E D(B),Bv = BABv,

On ecrit A(inv)B.

Remarque 5.1 La relation ainsi definie est symetrique c -- a` -- d A(inv)B <=> B(inv)A.

Lemme 5.2 Soit A, B E C(B) avec A(inv)B. Alors

1. AB est une projection de D(B) sur R(A),de noyan N(B).

2. BA est une projection de D(A) sur R(B),de noyan N(A).

Preuve: Par symétrie entre A et B,il suffit d'établir 1.

comme D(AB) = D(B) et si v E D(B),alors AB(ABv) = (ABA)Bv = ABv. En outre : R(AB) C R(A) et N(B) C N(AB). Si v E R(A) alors ]u E D(A) tel que v = Au = ABAu E R(AB). Donc R(A) = R(AB) et si v E N(AB) alors ABv = 0. D'ou Bv = BABv = 0 et par conséquent v E N(B). Donc N(AB) = N(B) et 1 est démontré.

Remarque 5.2 Soit A, B E C(B) avec A(inv)B. Alors D(B) = N(B) ED R(A) et D(A) = N(A) ED R(B).

Lemme 5.3 Soit A, B E C(B) avec A(inv)B. Alors AB, considéré comme un opérateur de B dans

lui màeme, est fermable,si et seulement si R(A) n N(B) = {0}. Alors D(AB) = R(A) ED N(B) ;
R(AB) = R(A) ; N(AB) = N(B) et (AB) est une projection de D(AB) sur R(AB), de noyan N(B).

Preuve: Soit {v_n} E D(AB) = D(B) telle que v_n 0,ABv_n w, alors w E R(A). Comme

u_n = (I -- AB)v_n E N(B) et u_n --w on voit que w E R(A). Donc w E R(A) n N(B) = w = 0. Inversement, soit v E R(A)nN(B). Alors il existe une suite {u_n} E D(A) telle que Au_n v, et comme

ü E N(B) C D(B), si w_n = Au_n--v on a : w_n E D(B) et ABw_n = ABAu_n--ABv = Au_n ; Donc w_n 0 et ABw_n v, donc v = 0. Supposons maintenant que AB est fermable, notons (AB) sa fermutre et soit u E R(A) + N(B). Alors u = v + w avec w E N(B) et il existe une suite {x_n} E D(A) telle que Ax_n v. Posons u_n = Ax_n + w. Alors {x_n} E D(B), et ABu_n = Ax_n. Donc u_n u,ABu_n v,d'ou

u E D(AB) et v = ABu. Alors il existe une suite {u_n} E D(B) telle que u_n u,ABu_n v d'ou

ü E R(A) et comme u_n = (I -- AB)u_n + ABun u,alors (I -- AB)u_n w = u -- v E N(B),d^'o`u

u E R(A) + N(B). Donc D(AB) = R(A) + N(B); R(AB) = R(A); N(AB) = N(B) et (AB)²(AB).

Corollaire 5.1 Soit A, B E C(B) avec A(inv)B. Alors AB considéré comme un opérateur de B dans lui màeme, est fermé si et seulement si R(A) est fermé.

Corollaire 5.2 Soit A, B E C(B) avec A(inv)B. AB E L(B) si et seulement si R(A) ED N(B) = B. Définition 5.4 Soit A, B E C(B) avec A(inv)B). On dira que B est un inverse généralisé stricte de

A (ce qui sera noté A(INV )B si R(A) ED N(B) = R(B) ED N(A) = B

Dans un espace de Hilbert une condition nécessaire est suffisante pour que un opérateur admet un inverse généralisé sera donnée par le théorème suivant :

Th'eor`eme 5.1 Un opérateur T admet un inverse généralisé dans A = L(H) si et seulement si R(T) est femré.

Preuve: [7]