5 Propriétés de l'inverse de Drazin
Nous commençons par le théorème suivant
qui est similaire au théorème de serie de
Laurent.
Th'eor`eme
5.1 Si 0 E isoa(a) et b l'inverse de
Drazin de a. Alors sur un disque pointé 0 <
|A| < r,
.
(Ae - a)-1 = Pn=8
n=1
)cnan-1(e
- ab) - Pn=8
n=0 Anbn+1
Preuve: Soit p l'idempotent de
a correspondant a` A = 0; Alors b = (a
+ p)-1(e -- p). Sur le disque 0
< IA I < r,Ae -- (a +
p) est inversible et ap est quasi-nilpotent,donc
(Ae -- a)-1 = (Ae --
ap)--1p + (Ae -- (a +
p))-1(e -- p)
n
|
n=oE
n=1
|
A--nan-1p --
|
n=oE
n=0
|
An(a +
p)-n-1(e -- p)
|
|
n
|
n=oE
n=1
|
A-nan-1(e
-- ab) --
|
n=oE
n=0
|
Anbn+1
|
Th'eor`eme
5.2 Si b est l'inverse de Drazin de a avec a cl
Inv(A). Alors ind(b)=1.
Preuve: L'élément p =
e -- ab est l'idempotent de a correspondant
a` A = 0 avec ap E QN(A) et a
+ p E Inv(A),
d0o`u.
bp = b(e -- ab) =
b -- ab2 = 0,
et
(a + p)(b + p) =
ab + ap + p = e + ap E
Inv(A),
Ainsi, (b+p) E Inv(A) car
((a+p)(b+p) =
(b+p)(a+p)) et d'après le
théorème 4.1 [p.23],0 E isoa(b)
dont p l'idempotent .De bp = 0 A = 0 est un
pàole simple de (Ae -- b)-1.
Contrairement a` l'inverse de Moore-Penrose, l'inverse
de Drazin ne satsifait pas en général :
(aD)D = a le
théorème suivant permet de donner une condition nécessaire
et suffisante pour l'avoir.
Th'eor`eme
5.3 Soit a cl Inv(A). Alors
(aD)D = a si et seulement si
ind(a)=1.
Preuve: Supposons que b =
aD et 0 un pàole simple de (Ae --
a)-1 dont l'idempotent correspondant est p. Alors
a -- a2b = a(e --
ab) = ap = 0, et
ab = ba , b --
ab2 = 0 , a -- a2b =
0.
ce qui prouve que bD = a.
Inversement si bD = a et b
= aD, les équations ab =
ba,b -- ab2 = 0,a --
a2b = 0 montrent que 0 est un pàole
simple de (Ae -- a)-1.
En utilisant ce qui précédent alors on a le
théorème suivant :
Th'eor`eme
5.4 Supposons que a E A admet un inverse de Drazin
aD et p l'idempotent de a correspondant a` A = 0.
Alors
1. (an)D =
(aD)n pour tout n E N.
2. (aD)D = a2aD =
a(e -- p),
3. ((aD)D)D = aD,
4.
aD(aD)D =
aaD = e _ p.
Th'eor`eme
5.5 Si aD existe , b E QN(A)
et ab = ba, alors (a +
b)D existe et
(a + b)D = (a +
b + p)-1(e -- p),
avec p l'idempotent de a correspondant a` A =
0.
Preuve: Soit p l'idempotent de a
correspondant a` A = 0; L'ensemble {a, b, p}
commutent et a + p E Inv(A) et ap
E QN(A). Donc
a + b + p = (a +
p) + b E Inv(A),(a +
b)p = ap + bp E QN(A)
Donc 0 ?6 acco-(a + b) et
d'après le théorème 4.1[p.23] (a +
b)D existe, la formule s'obtient par la relation
xD = (x + p)-1(e --
p).
Remarque 5.1 Le théorème
précédent montre que si 0 E isoa(a),b
E QN(A) et ab = ba, alors 0 E
isoa(a + b).
Th'eor`eme
5.6 Si aD et bD existent et ab = ba
= 0, alors (a + b)D
existe et
(a + b)D =
aD + bD
Preuve: Remarquons que a, b, aD,
bD commutent et abD =
ab(bD)2 = 0 et aDb
= ab(aD)2 = 0. D'o`u
(a + b)(aD +
bD)2 =
a(aD)2 +
b(bD)2 = aD +
bD,
et
(a + b) - (a +
b)2(aD + bD) =
(a - a2aD) + (b -
b2bD) E QN(A), ce qui
prouve que (a + b)D =
aD + bD.
Pour tout p E C et K c C compact on
définit d(p, K) = inf{IA - p| :
A E K} et d(p, 0) = 0
.
Th'eor`eme
5.7 Soit a un élément Drazin inversible dans une
algèbre A dont le rayon spectral r(a) > 0.
Alors
d(0,a(a)\{0}) =
(r(aD))_1.
Preuve: On a : aD =
f(a) pour une fonction holomorphe f.
D'o`u VA E a(a)\{0},
1A-11 = If(A)I
r(f(a)) = r(aD),
c--`a--d Al >
(r(aD))_1,et d(0,
a(a)\{0}) > (r(aD))_1.
D'après le théorème 3.3[p.7] et par compacité de
a(a)\{0}) (a(a)\{0}) est compact car a
est Drazin inversible,donc 0 ?6 acca(a)), il existe
p ? ó(a)\{0}) tel que |p| =
r(aD))_1,
d'o`u le résultat.
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