Les différentes notions d'inversibilité et applications

4 Les éléments quasi-polaires et polaires d'une algèbre

Définition 4.1 Un élément a d'une algèbre A est quasi-polaire s'il existe un idempotent p E A vérifiant

p E comm²(a), ap E QN(A), a + p E Inv(A)

Si, de plus ap est nilpotent d'indice de nilpotence k > 1, alors a est dit polaire d'ordre k. Si k = 1,alors a est dit simplement-polaire.

Remarque 4.1 Soit a E A.

1. L'idempotent p est unique, car s'il exite q vérifiant la définition alors

e--(e--p)q= e--(e--p)(a+p)^-1(a+p)q

= e -- (e--p)(a+p)^-1aq

= e--b(aq)

avec b = (a +p)^-1a,comme p E comm²(a) ; Alors aq E QN(A) implique e - b(aq) E Inv(A),d^'o`u
e -- (e -- p)q = e -- (e -- p)²q² = (e - (e--p)q)(e+ (e -- p)q).

Mais (e - (e - p)q) est inversible, donc (e - p)q = 0 c - a` - d q = pq, de màeme on démontre que p = qp = pq,donc p = q.

2. Par le lemme 1.2 [p.20] a E A est quasi-polaire si et seulement si a est Drazin inversible.

3. a est polaire d'orde k si,et seulement si a^ka = 0 et a est simplement polaire si et seulement si aa = 0.

Proposition 4.1 Soit A une C^*-algèbre, alors a est quasi polaire si et seulement si a^* est quasipolaire,dans ce cas (a^*) = (a^ð)^* et et (a^*)^D = (a^D)^*.

Preuve: Comme a + a E Inv(A) et aa = aða,alors a^* + (a^ð)^* E Inv(A) et a^*(a^ð)^* = (a^ð)^*a^* E QN(A) et par l'unicité de l'idempotent p,alors a^* est quasi-polaire et (a^*) = (a^ð)^*.

pour (a^*)^D = (a^D)^*,on utilise la relation a^D = (a + a^ð)^-1(e - a^ð) et (a^*) = (a^ð)^*.

Le théorème suivant permet de donner une condition suffisante pour que le produit ab de deux éléments a et b admet un inverse de Drazin .

Th'eor`eme 4.1 Soit a et b deux éléments de A avec ab = ba,a^D et b^D existent. Alors (ab)^D existe et
(ab)^D = a^Db^D.

Preuve:

Les éléments a ,b , a^D et b^D commutent, donc

ab(a^Db^D)² = a(a^D)²b(b^D)² = a^Db^D.

De plus,

ab -- (ab)²a^Db^D = (a -- a²a^D)(b -- b²b^D) + a²a^D(b -- b²b^D) + b²b^D(a -- a²a^D)

et r(ab -- (ab)²a^Db^D) = 0,donc ab -- (ab)²a^Db^D E QN(A). Voir proposition 5[p.5]

Corollaire 4.1 L'inverse de Drazin d'un élément normal ( resp auto adjoint) est normal ( resp auto adjoint).

Preuve: On applique le théorème 4.1[p.23] et la proposition précédente. Lemme 4.1 Un élément a E A normal qausipolaire est simplement polaire.

Preuve: Supposons que a qausipolaire et soit p = e -- aa^D l'idempotent de a correspondant a` 0, alors p est normale par le théorème 4.1 [p.23],et parsuite le spectre de p est réel, p est en fait auto adjoint et ap = pa est normale. Comme ap E QN(A) alors Ilap11= r(ap) = 0,donc ap = 0 , d<sup>'</sup>o`u a est simplement polaire.

Th'eor`eme 4.2 Soit a E A. Alors 0 acca(a) si et seulement il existe un idempotent p E A qui commute avec a tel que :

ap E QN(A), p + a E Inv(A).

De plus, 0 E isoa(a) si et seulement p est l'idempotent de a corrsepondant a` u = 0.

Preuve:

a E A est inversible si et seulement si il existe p = 0 tel que a + p E Inv(A). Soit 0 E isoa(a), alors l'idempotent p est défini par : p = f(a) avec f E H(a) et

(

f (A) = 1 sur un voisinage de de 0.

0 sur un voisinage de a(a) \ {0}.

d^'o`u p² = p =6 0, p commute avec a et ap = h(a) avec h(A) = Af(A) ; Comme a(ap) = a(h(a)) = h(a(a)) = {0} 3.3[p.7] , donc ap E QN(A). La fonction g(A) = f(A) + A est dans H(a) et non nul sur le spectre de a ; Ainsi g(a) = p + a est inversible.

Inversement, supposons qu'il existe un idempotent p qui commute avec a, alors pour tout A

Ae -- a = (Ae -- ap)p + (Ae -- (a + p))(e -- p).

il existe r > 0 (par exemple r = 11(a + p)^-111^-1) tel que Ae -- (a + p) E Inv(A) si 0 < IAl < r. Comme ap E QN(A),Ae -- (a + p) E Inv(A) pour A =6 0,donc

Ae -- a = A(e -- ap)^--1p + (Ae -- (a + p))^-1(e -- p).(lemme 2.1[p.20])
lorsque 0 <I A I< 0. De p =6 0,0 E isoa(a). Montrons que p est l'idempotent de a correspondant a` 0.

(

1 sur un voisinage de de 0.

Pour ce faire soit f E H(a) telle que f(A) = donc

0 sur un voisinage de a(a) \ {0}.

no

f(a) = _2w¹ f₎,(Ae a)^--1dA = 2/r¹ i f₎,(Ae--ap)^-1pdA+ _2w¹ (Ae (a+p))^-1(e--p)dA =

Enl A^--n--1aⁿp+ 2ði ã

0 = p, o`u -y = {A : 0 < 'AI< r}.

Corollaire 4.2 Un élément a E A est quasipolaire si et seulement si 0 E6 acca(a).

Corollaire 4.3 Soit a E A les conditions suivantes sont équivalentes :

1. 0 E6 acca(a)

2. il existe un idempotent tel que :

ap = pa , ap E QN(A) , a + p E Inv(A).

3. a admet un inverse de Drazin unique, avec a^D = (a + p)^-1(e - p). avec p l'idempotent de a correspondant a` 0.

Preuve: On applique les résultats précédents.

Th'eor`eme 4.3 Si 0 E isoa(a), alors

aD = f(a),

avec f E H(a) tel que f = 0 sur un voisinage de 0 et f(A) = ë^-1 sur un voisinage de a(a) \ {0}.Et

cr(a^D) \ {0} = {A^-1 : A E a(a) \ {0}}.

Preuve:

On sait que l'idempotent p de a correspondant a` 0 s'écrit sous la forme p = g(a) avec g E H(a), g = 1 sur un voisinage de 0 , g = 0 sur un voisinage de a(a) \ {0}, et posons

f(A) = (A + g(A))^-1(1 - g(A)).

Alors f vérifie les hypothèses du théorème 4.2 [p.24] et par le théorème 3.3[p.7] on aura le résultat voulu.

Remarque 4.2 Par le théorème précedent a^D commute avec tout élément qui commute avec a.