Les différentes notions d'inversibilité et applications

Chapitre III

Inverse de Drazin

1 Inverse de Drazin

Définition 1.1 Un élément a d'une algèbre A est quasi-nilpotent si,pour tout x qui commute avec a on a :

e - ax E Inv(A).

L'ensemble des éléments de A quasi nilpotents sera notée par QN(A).

Remarque 1.1 N(A) C QN(A),

o`u N(A) est l'ensemble des éléments-nilpotents. En effet, Soit a un élément nilpotent d'indice k, pour tout x E A qui commute avec a on a :

(e - ax)^-1 = jk-1

i=0 xiai.

Lemme 1.1 Soit a E A,alors a E QN(A) IanI ¹ n-~ 0 a - Ae E Inv(A) pour tout complexe

)t =6 0.

Définition 1.2 Soient a, b deux éléments d'une algèbre A. On dit que b est l'inverse généralisé de Drazin de a,si

ab = ba, ab² = b, a²b - a E QN(A)

On note par a^d l'inverse de généralisé de Drazin de a.

Remarque 1.2 Si a²b - a E N(A), alors b sera appelé l'inverse de Drazin de a et a sera dite Drazin inversible.

On note par a^D l'inverse de Drazin de a.

Exemple 1.1 Soit a E A.

1. Si a est inversible,alors a^D = a^-1.

2. Si a est idempotent,alors a^D = a.

III.1 Inverse de Drazin

3. Si a est quasi-nilpotent (en particulier si a est nilpotent),alors a^D = 0.

Remarque 1.3 Il est bien conuu que l'ensemble Inv(A) des éléments inversibles d'une algèbre A est ouverte, ce résultat est faux pour L'ensemble A^D de A qui admettent un inverse de Drazin .

En effet :

Soit A l'algèbre des fonctions continues sur [0,1] munie de la norme de convergence uniforme.Alors 0 admet 0 pour inverse de Drazin. Cependant pour tout € > 0 l'intervalle centré en 0 contient un élément x(t) = et. De o^-(x) = x([0,1]) = [0, €],donc 0 El isoa(x) et par suite x^D n'existe pas voir le théorème 4.2 [p.24]..

Définition 1.3 1. Soit a E A on définit l'index de a par :

i(a) =

{

0 si a est inversible. k si a est non inversible et a^2b -- a est nilpotent d'indice k. co ailleurs.

o`u b est l'inverse de Drazin de a.

2. Si i(a) < 1,on note par atl = a^D, et atl est dite le groupe inverse de a.

Remarque 1.4 Soit a E A, alors a est Drazin inversible d'index k <=> a`

1. ab = ba.

2. bab = b.

3. a^kba = a^k.

En effet : Comme ab est idempotent donc (e--ab) est aussi idempotent et commute avec a et (a²b--a)^k = 0, alors a^k(ab -- e)^k = 0 donc a^kba = a^k.

La Remarque 1.4 permet de calculer l'inverse de Drazin pour les matrices,en utilisant : Th'eor`eme 1.1 Si A est une matrice de M_n(C) d'indice k,alors

A^D = lim_a--0(A^k+1 + a2I)-1Ak

!

Exemple 1.2 Déterminons l'inverse de Drazin de la matrice a = 0 1 . a est idempotente donc

0 1

déj`a on sait que a^D = a. Vérifions-le par utilisation du théorème. En effet : on a k = 1 donc (a² +

1 + ₀ a _{a2 ,}² --1 )

a2I)-1 a2(1+a2) croit (a² + a²I)^-1a = (1+1a2) a. On fait tendre a vers 0 on trouve

que a^D = a.

La question qui se pose de façon naturelle est comment déterminé l'indice k ? On aura donc a` introduire la définition suivante.

Definition 1.4 Soit a E A,on définit l'index spectral de a par:

ind(a) = Proposition 1.1 On a :

? ??? ???

0 si a est inversible. k si 0 est un pàole d'ordre k de (Ae - a)^-1. 00 ailleurs.

ind(a) = i(a)

Lemme 1.2 Un élément a E A admet un inverse de Drazin a^D si et seulement s'il existe un idempotent p tel que :

ap = pa, ap E QN(A), a + p E Inv(A). Dans ce cas a^D est unique et donné par:

aD = (a + p)^-1(e -- p).

On notera un tel p par a = e - a^Da = e - aa^D.

Preuve:

1. =] Posons b = (a + p)^-1(e -- p). Alors ab = ba,car ((a(a + p)^-1 = (a + p)^-1a) et (p(a + p)^-1 = (a + p)^-1p)) et

ab = a(a + p)^-1(e -- p) = (a + p)(a + p)^-1(e -- p) = e -- p.

et ab² = (ab)b = (e - p)b = b(e - p) = b car(bp = 0). Enfi a - a²b = a(e - ab) = ap E QN(A).

2. =] Si b est l'inverse de Drazin de a. Posons p = e - ab. Comme (ab)² = a(ab²) = ab, alors p est un idempotent qui commute avec a, et

(b + p)(a + p) = (a + p)(b + p) = ab + ap + bp + p = e + ap E Inv(A)

comme ap E QN(A) , alors a + p E Inv(A). Or (a + p)b = e -- p alors b = (a + p)^-1(e -- p), ainsi on vient de prouver l'unicité de b.