Les différentes notions d'inversibilité et applications

5 Caractérisation des éléments Moore-Penrose hermitiens :

Th'eor`eme 5.1 Soit A une C algèbre. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. a est Moore-Penrose hermitien.

2. aA = a^*A , a^-1(0) = a^*_1(0) , A = aA a^-1(0), et si L = La|aA : aA - aA et L = La^*|aA : aA - aA,alors L² = L² = I,avec I l'identité sur aA.

Preuve:

Supposons que a est Moore-Penrose hermitien, considérons l'application L_a2 : aA - aA. Comme a2 est idempotent,L_a2 est une projection sur A,donc A = R(L_a2) N(L_a2), or a est Moore-Penrose hermitien, alors R(L_a2) = aA et N(L_a2) = a^-1(0).

on a :L² = I car L_a2 est une projection.

En utilisant la troisième assertion de la proposition 2.4 [p.12], a^* est Moore-Penrose hermitien, et par la 5 ème assertion de la proposition 2.4,a = a^*a^*a et a^* = aaa^*, donc aA = a^*A, d^'o`u par la 3 ème assertion de la proposition 2.4 [p.12], a = aa^*a^* et a^* = a^*aa, et donc a^*_1 = a^-1(0), et comme a2 est hermetin, alors L2 = L² = I.

Inversement, on a : L_a = L3 a et L² _a* = L² _a, donc a = a³ et (a²)^* = a², c - a` - d a est Moore-Penrose hermitien.